مسابقه انتخابی المپیاد

مرحله اول مسابقات ریاضی دانشجویی

« دانشگاه فردوسی مشهد»

27/11/1384

۱. گروه G دقیقا ً ذارای سه زیر گروه است اگر و فقط اگر دوری از مرتبه p²  باشد.( p عددی اول است)

۲. فرض کنید

یک دنباله دقیق از فضاهای برداری با بعد متناهی و تبدیلات خطی باشد. ثابت کنید

dimA + dimC =dimB + dimD

۳. فرض کنیم ||.|| تابعی روی فضای برداری X باشد که تمام خواص نرم به جز نامساوی مثلث را دارد و به جای نامساوی مثلث ، نامساوی متوازی الاضلاع را به شکل زیر داریم

 

ثابت کنید  یک فضای نرم دار است.

۴. در یک گراف مانند یک زیر مجموعه از رئوس مانندD را مسلط نامیم هر گاه به ازای هررأسی مانند

و یالی مانند موجود باشد . Dرا قویا ً مسلط می نامیم هر گاه برای هر، این شرط برقرار باشد. درجه ( قویا ً) تسلطی Dرا مینیمم مقدار |D|که در آن، مجموعه v(G ( قویا ً ) مسلط است، تعریف و با نماد نشان داده می شود. ثابت کنید