ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

آنالیز ریاضی۲ جلسه سوم ( پس از ویرایش )

چشم انداز: حال که با مفهوم توابع با تغییرات کراندار آشنا شدیم ، می خواهیم بدانیم که آیا همه توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند؟ یا حتی اگر f  با تغییرات کراندار باشد ، چه رابطه ای بین پیوستگی f و Vf  بر بازه های بسته وجود دارد ؟ و در پایان این بخش به محاسبه ی Vf  از روی تابع f می پردازیم.

مثال زیر در پاسخ به این سوال که آیا تمام توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند، به ما کمک می کند.

مثال ۴-۱ : اگر  تابعی پیوسته با ضابطه ی زیر باشد

 

به ازای هرعدد طبیعی n  می توان افرازهای Pn  را به صورت زیر در نظر گرفت

 

در این صورت خواهیم داشت

 

حال چون سری واگراست لذا سوپریمم ها به ازای  وجود ندارد و از طرفی طبق رابطه ی زیر

 

نتیجه می گیریم که f  بر بازه ی  با تغییرات کراندار نیست.

 

این مثال نشان داد که توابع پیوسته ای بر بازه های بسته وجود دارند که با تغییرات کراندار نیستند.

در قضیه زیر رابطه ی بین پیوستگی یک تابع با تغییرات کراندار بر[a,b]  را با پیوستگی تابع تغییرات کل آن روی همان بازه بررسی می کنیم.

قضیه ۷-۱ : اگر f  بر بازه ی  [a,b]  با تغییرات کراندار باشد ، در این صورت f  بر هرپیوسته است اگر و فقط اگر Vf  بر این نقطه پیوسته باشد.

 برهان : ابتدا فرض کنیم  Vf  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست که

 

با توجه به بحث های قبلی داریم

 

این رابطه نشان می دهد که f  بر هر پیوسته است .

بر عکس فرض کنیم  f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست به طوری که برای هر  و داریم

 

همچنین افراز  ( با فرض وجود دارد به طوری که

           ( ۱)  

در افراز فوق می توان فرض کرد  زیرا حتی اضافه کردن چنین x1 ی به افراز P1 ، از مجموع آن چیزی نمی کاهد . بنابراین داریم

 

از طرفی داریم

   ( ۲)

با تلفیق روابط (1) و (2) داریم

 

یعنی

 

از طرفی داریم

 

بنابر این نتیجه می شود که اگر  آنگاه

 

لذا Vf  در نقطه ی از طرف راست پیوسته است . به طور مشابه می توان ثابت کرد که Vf در نقطه ی از طرف چپ پیوسته است . بنابراین Vf به ازای هرپیوسته است. این پایان برهان خواهد بود   .ð

 

برای ادامه بحث به چند تعریف نیازمندیم :

 

تعریف ۸-۱: نگاشت پیوسته f از [a,b]  به R را یک منحنی در R  گوییم . همچنین اگر f یک به یک باشد، آن را کمان یا قوس گوییم.

تعریف ۹-۱: منحنی f که بر بازه ی  [a,b]  تعریف شده را طول پذیر گوییم هرگاه f بر این بازه با تغییرات کراندار باشد.

 

یاد آوری :

 

قضیه زیر ما را در محاسبه تغییرات کل تابع در بازه ی  [a,b]  یاری می کند.

قضیه ۸-۱: اگر 'f  بر بازه ی  [a,b]  یک منحنی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نیزبر این بازه، یک منحنی با تغییرات کراندار است و داریم

 

برهان : برای هر افراز از بازه  [a,b]  داریم

 

یعنی

          (*)

این نشان می دهد که منحنی f بر  [a,b]  با تغییرات کراندار است.

از طرفی پیوستگی 'f  بر بازه [a,b] ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه نتیجه می دهد ، بنابراین

 

بنابراین با فرض ||P||<d  برای هر داریم

 

بنابراین اگر داریم

 

از طرفی

 

بنابراین

 

با جمع بندی رابطه ی اخیر برای i=1,2,…,n داریم

 

یعنی

   

برای هر e>0 دلخواه. بنابراین

          (**)

با توجه به روابط (*) و(**) برهان کامل می باشد .ð

 

با این قضیه به پایان مبحث توابع با تغییرات کراندار رسیدیم. جلسات آینده ، مبحث انتگرال ریمان-اشتیل یس را شروع می کنیم .

نظرات 0 + ارسال نظر
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)
ایمیل شما بعد از ثبت نمایش داده نخواهد شد