تست های کنکور کارشناسی ارشد با پاسخ « توابع با تغییرات کراندار »

تست و نکته ۱

1. تابع  

 

در فاصله [0,1] مفروض است . در مورد پیوستگی، کرانداری و باتغییرات کراندار بودن f ، بر این بازه ، کدام گزینه درست است؟

1.      پیوسته، کراندار ولی بدون تغییرات کراندار

2.      پیوسته و با تغییرات کراندار

3.      کراندار و با تغییرات کراندار

4.       پیوسته ، کراندار و با تغییرات کراندار

( ریاضی کارشناسی ارشد سال ۱۳83 )

پاسخ : گزینه ی 1 پاسخ صحیح است. پیوستگی و کرانداری تابع داده شده واضح است ولی بدون تغییرات کراندار است زیرا اگر افراز

 

را در نظر بگیریم

 

از آنجا که سری

 

واگراست پس برای n های بزرگ ،

 

از هر اندازه ی دلخواه بزرگتر می شود .

نکته : به ازای a>0 و b>0 ، توابع

 

وقتی که  و ، بر بازه ی [0,1] ، با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b

را حل این نکته این گونه است . برای تابع i ، افراز

 

را در نظر می گیریم. داریم

 

که به ازای همگراست. یعنیa>b.

حال اگر a>b ، تابع  بر زیر بازه های افراز فوق، صعودی یا نزولی خواهد بود. بنابر این  موجود است .( توابع یکنوا بر بازه های بسته، با تغییرات کراندارند.)

به طور مشابه با انتخاب

 

اثبات می شود. همچنین چون این توابع نسبت به محور y ها دارای تقارن اند، می توان با انتخاب  

ثابت کرد که این توابع بر با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b. لذا  توابع فوق بر بازه ی با تغییرات کراندارند اگر و فقط اگر a>b.