ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۸ قسمت ۲ ( پس از ویرایش)

انتگرال گیرهای با تغییر کراندار

توضیح : در فصل 1 دیدیم که هر تابع با تغییر کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت. پس اگر a بر تابعی  با تغییر کراندار باشد، می توان نوشت  که  و  بر صعودی اند. اگر  و  برآنگاه  از ویژگی خطی در می یابیم که بر . اکنون این پرسش مطرح می شود که آیا عکس مطلب همواره برقرار است یا نه؟ یعنی اگر  بر و a را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی  و  نوشت، آیا می توان نتیجه گرفت که  و ؟

در پاسخ باید گفت : چون نمایش تابع a  ( a با تغییرات کراندار است ) به صورت تفاضل دو تابع صعودی ، منحصر به فرد نیست، اگر ؛ می توان توابع صعودی   و یی پیدا کرد که هیچ یک از انتگرال های   و موجود نباشد. اما در قضیه زیر ثابت می کنیم که دست کم برای یک نمایش تابع a و آن هم به صورت  انتگرال های فوق موجود خواهند بود.

قضیه 2-15: انگار a  بر با تغییرات کراندار باشد و تابع  تابع تغییر کل تابع  a  بر بازه ی به طوری که  باشد. با این شرایط اگر  بر ، آنگاه بر خواهد بود.

برهان: طبق تعریف V می دانیم  ، اگر V(b) =0  ، پس V  بر تابعی ثابت است و  . اگر  ، چون V صعودی است ، کافی است ثابت کنیم f  در شرط ریمان بر حسب V بر  صدق می کند. اگر و e>0  داده شده باشد ، را به گونه ای اختیار می کنیم که  برای هر افراز  و هر  داشته باشیم

    (۱)

و چون a بر با تغییر کراندار است

     ( ۲)

که M کران بالای  است، یعنی  . با افرازP  فوق شرط ریمان را برای V می نویسیم

 

پس اگر ثابت کنیم

     ( *)

و

     ( ** )

برهان تمام است. برای اثبات (*) ، چون

 

و با توجه به (2) خواهیم داشت

 

و (**) را به  ترتیب زیر اثیات می کنیم . گیریم

 

و

 

و

 

اگر ؛   را طوری اختیار می کنیم که

 

و اگر   ؛    را طوری اختیار می کنیم که

 

در این صورت

 

پس f در شرط ریمان نسبت به V بر صدق می کند و برهان کامل است.

نظرات 1 + ارسال نظر
دوست شما شنبه 9 اردیبهشت‌ماه سال 1385 ساعت 02:49 ب.ظ http://www.adinehbook.com

بازاریابی اینترنتی ... هر کلیک 80 ریال ... به ما سر بزنید.

برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)
ایمیل شما بعد از ثبت نمایش داده نخواهد شد