ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۹ ( ویرایش شده )

فصل سوم

 

دنباله و سری توابع

 

تعریف 1-3 ( همگرایی نقطه به نقطه : pointwise convergence ) : دنباله از توابع بر را نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند گوییم هرگاه

یا به عبارت دیگر گوییم دنباله نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند هرگاه 

 

تعریف 2-3 ( همگرایی یکنواخت « uniform convergence » ) : دنباله از توابع بر را همگرای یکنواخت به تابعی مانند گوییم هرگاه به ازای تمام xهای عضو E داشته باشیم

 

قضیه 1-3 « شرط کشی « Cauchy condition  » برای همگرایی یکنواخت دنباله ای از توابع » :

دنباله از توابع بر به طور یکنواخت همگراست اگر و تنها اگر

برهان: ابتدا انگار دنباله بر E به طور یکنواخت همگرا به تابعی مانند  باشد ، طبق تعریف همگرایی یکنواخت داریم

از طرف دیگر طبق نامساوی مثلث داریم

بنابراین

پس در شرط کشی صدق می کند. حال اگر در شرط کشی برصدق کند. چون R  فشرده است و  دنباله ای در Rاست که در شرط کشی صدق می کند، بنابراین در R همگراست. پس

نشان می دهیم این همگرایی یکنواخت است . با توجه به شرط کشی داریم

و با توجه به همگرایی داریم پس

 

بنابراین بر E همگرایی یکنواخت است.€

 

قضیه 2-3 « آزمون وایراشتراس « weierstrass test » برای همگرایی دنباله توابع » : اگر دنباله  از توابع بر E به طور نقطه به نقطه همگرا به تابع  باشد و

 

در این صورت دنباله به طور یکنواخت به همگراست اگر و تنها اگر  یا  

برهان: ابتدا اگر همگرای یکنواخت به بر E باشد ، برای 

 

داده شده ، داریم

حال اگر  داریم

در نتیجه

برعکس اگردر این صورت به ازای داده شده ، داریم

بنابراینبه طور یکنواخت به همگراست.€

 

قضیه 3-3 : اگرهمگرای یکنواخت به f برE باشد و( a  نقطه ی حدی E باشد) اگر به ازای هر n  داشته باشیم  آنگاه   یا به عبارت دیگر

برهان: چون همگرای  یکنواخت به f است لذا برای هرداده شده ، داریم

حال چون به ازای هر n ، ، پس به ازای ثابت داریم

پس به ازایداریم

یعنی

. €

نظرات 0 + ارسال نظر
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)
ایمیل شما بعد از ثبت نمایش داده نخواهد شد