ادامه همگرایی یکنواخت

.....ادامه از قبل

قضیه یشین از آن جا مهم است که همگرایی نقطه ای ِ توابع پیوسته ، همان طوئ که شکل نشان می دهد، برای ضمانت پیوستگی ِ تابع حد ، کافی نیست.

اگر S یک بازه باشد و تمام f_n  ها مشتق پذیر و همگرا به حد f  باشند ، آرزومندیم تا با حد گیری از مشتقات ِ  f_n  ، به  مشتق تابع حدی f برسیم. ( یعنی   ). اگر چه این موضوع عموماْ برقرار نیست : حتی اگر همگرایی یکنواخت باشد ، لزومی ندارد که تابع حدی f ، مشتق پذیر باشد و حتی اگر مشتق  پذیر باشد، لزومی ندارد که مشتق تابع حدی f ، با حد مشتق تابع های  f_n  برابر باشد .

نمونه وار ، تابع   همگرای یکنواخت به تابع  f(x)=0 است ؛ اما مشتقاتش به صفر میل نمی کنند. بیان دقیقی که این مطالب را پوشش می دهد به صورت زیر است :

اگر f_n  همگرای یکنواخت به f باشد و همه ی f_n  ها مشتق  پذیر باشند و f'_n  نیز همگرای  یکنواخت به g باشد،

در این صورت f نیز مشتق  پذیر  است ومشتق f با g برابر است.

به طور مشابه ، اغلب دوست داریم فرایند انتگرال و حد را مبادله کنیم. برای انتگرال پذیری ریمان ، نیازمند همگرایی یکنواخت هستیم :

اگر ‌{ f_n }  دنباله ای از توابع انتگرال پذیر ریمان باشد که  همگرای یکنواخت به f است.

در این صورت f نیز  انتگرال پذیر ریمان است و انتگرال f را می توان از حد انتگرال های  f_n ‌ها محاسیه کرد.

( یعنی    )

در این باره ، اگر به جای انتگرال پذیری ریمان ، انتگرال پذیری لبگ را جایگزین کنیم ، قضیه ی بسیار قویتری کسب می کنیم که چیزی بیش از همگرایی نقطه ای نیاز ندارد :

اگر S یک بازه ی فشرده باشد،( یا عموماً یک فضای توپولوژیک فشرده ) و ‌{ f_n }  دنباله ای صعودی  از توابع پیوسته باشد

 ( یعنی  برای هر n وx )، که همگرای نقطه ای به تابع پیوسته f است،  

آنگاه همگرایی لزوماً یکنواخت است.( قضیه دینی Dini Theorem ). همچنین همگرایی یکنواخت  در صورتی ضمانت شده است که

S یکبازه ی فشرده و   ‌{ f_n } یک دنباله ی متساویاً پیوسته و همگرای نقطه ای باشد.

تاریخچه

‹‹ آگوستین لوئیس کشی Augustin Louis cauchy ›› در سال ۱۸۲۱ اثبات ناقصی از یک بیان اشتابه را منتشر کرد که حد ِ نقطه ای ِ دنباله ی توابع پیوسته ، همیشه پیوسته است. ‹‹ جوزف فوریه Joseph Fourier ›› و ‹‹ نیلز هنریک آبل Niels Henrik Abel ›› مثال های نقضی در زمینه ی سری های فوریه پیدا کردند. پس از آن ‹‹ دیریکله Dirichlet ›› اثبات کشی را وارسی کرد و متوحه اشتباه شد : عقیده ی همگرایی نقطه ای مجبور شد جای خود را به همگرایی یکنواخت بدهد.

منبع :

  همگرایی یکنواخت در ویکی پدیا