۲۰. برهان غیر مستقیم

۲. برهان غیر مستقیم  « برهان خلف » :

 در برهان خلف، نقیض نتیجه را به مفروضات می افزاییم و با استفاده از قواعد، به یک تناقض می رسیم. با رسیدن به تناقض برهان کامل می شود.

 مثال ۴ : حکم زیر را با استفاده از برهان خلف ثابت کنید .

اگر من در این درس شرکت کنم و زیاد درس بخوانم، آنگاه نمرات خوبی می گیرم .

اگر نمرات خوبی بگیرم ،اآنگاه خوشحال می شوم.

من خوشحال نیستم.

بنابراین یا من  در این درس شرکت نکرده ام یا زیاد درس نخوانده ام.

حل :  گزاره های زیر را در نظر می گیریم :

من در این درس شرکت می کنم : p

من زیاد درس می خوانم : q

من نمرات خوبی می گیرم  : r

من خوشحال هستم : s

بنابراین

۱.  

۲.

۳. s~

۴.      برهان خلف

۵.  p q                 از ۴- دمورگان

۶.  r                        از ۱و ۵  قیاس استثنایی

۷.  s                       از ۲ و ۶ قیاس استثنایی

۸.               از ۳و ۷ عطف

شماره ۸ یک تناقض است. بنابراین حکم به برهان خلف برقرار است .

که شماره ۸ یک تناقض است . پس حکم به برهان خلف برقرار است.

این مثال را می توان با استفاده از برهان مستقیم نیز حل نمود‌:

۴.                 از ۲ و نکته ۱

۵.                      از ۴ و قانون دمورگان

۶. r~                              از ۵ و رفع مؤلفه

۷.       از ۱ و عکس نقیض

۸.                  از ۶و ۷ و قیاس استثنایی

۹.                  از  ۸ و قانون دمورگان.

انتخاب روش حل ِ یک حکم، به سلیقه و تجربه فرد بستگی دارد. اما همه سوال ها را نمی توان با برهان خلف ثابت کرد و همچنین همه سوال ها را نمی توان به روش مستقیم ثابت کرد. باید توجه کرد که در روش مستقیم، با استفاده از فرض ها و قواعد استنتاج به نتیجه دست می یابیم  اما در روش غیر مستقیم، نشان می دهیم که با درست فرض کردن ِ نقیض نتیجه، به یک گزاره ی نادرست « تناقض »  می رسیم ، که نشان می دهد نتیجه خود گزاره ای درست است.

  - ۲۰ -

---

 صفحه های قبل : « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »