۲۱. استقرای ریاضی و مثال۵

۳. استقرای ریاضی :

معمولا ْ اگر بخواهیم درستی گزاره ای را در مورد اعداد طبیعی نشان دهیم از استقرای ریاضی کمک می گیریم .

اصل استقرای ریاضی به صورت زیر است :

استقرای ریاضی : اگر  حکمی درباره ی اهداد طبیعی n باشد به طوری که

۱.  به ازای n=1 گزاره ای درست باشد.

۲. به ازای هر عدد طبیعی k ، از درستی ، درستی  لازم آید ، یعنی

 

آنگاه  به ازای تمام اعداد طبیعی n ، درست است.

در مثال زیر ، با روش استفاده از استقرای ریاضی آشنا می شویم :

مثال ۵. نشان دهید برای هر عدد طبیعی n داریم :

    ( ۱)

حل : ابتدا درستی قضیه را برای  n=1 بررسی می کنیم :

 

حال فرض کنیم حکم برای k برقرار باشد، یعنی   درست باشد :

   ( ۲ )

نشان می دهیم این درستی ، درستی حکم را برای k+1 ایجاب می کند. دوطرف تساوی (۱) را با   جمع می کنیم :

   ( ۳ )

طرف دوم تساوی (۲) را می توانیم به صورت زیر بنویسیم :

     ( ۴ )

بنابر تساوی های ( ۳ ) و ( ۴ ) داریم :

 

پس از درستی  ، نشان دادیم  نیز درست است. بنابراین حکم برای هر عدد طبیعی n ، به استقرا درست است.

درواقع ، استقرای ریاضی خود شامل ۲ قضیه است. در قضیه اول درستی   بررسی می شود که معمولا کار ساده ایست و در قضیه دوم بایستی   را فرض و   را حکم در نظر بگیریم. از این روست که به   فرض استقرا گویند. 

  - ۲۱ -

---

 صفحه های قبل : « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »