مبانی ریاضیات
فصل سوم رابطه و تابع
چشم انداز
سومین فصلی که معمولاْ در مبانی ریاضات عنوان می شود، رابطه و تابع است. رابطه و تابع روی مجموعه ها تعریف می شوند.پس بجاست که بعد از فصل مجموعه ها ، ارائه شوند. برای آشنایی با رابطه ها و تابع ها، ابتدا زوج مرتب را خواهیم شناخت و پس از آن حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را بیان می کنیم.سپس به مفهوم رابطه خواهیم پرداخت و رابطه های مهم مانند رابطه ی هم ارزی و تابع که حالت خاصی از رابطه است، گفته می شود.
حاصلضرب دکارتی مجموعه ها
تعریف ۱جفت مرتب : هر دوتایی مرتب ِ که ترتیب قرار گرفتن a و b در آن مهم باشد را یک جفت مرتب گویند.
تعریف۲ جفت مرتب : جفت مرتب به صورت نیز تعریف می شود. یعنی=.
اگر = z یک جفت مرتب باشد، a و b را به ترتیب مولفه اول و مولفه ی دوم z گویند و با نماد a=pr1z و b=pr2z نمایش می دهند.
تساوی دو جفت مرتب : دو جفت مرتبو را مساوی گویند اگر و تنها اگر و .
تعریف حاصلضرب دکارتی دو مجموعه : اگر A و B دو مجوعه ی دلخواه باشند، حاصلضرب دکارتی A و B را با نماد نمایش می دهند و مجموعه ی تمام جفت های مرتب ِ است که و باشد. یعنی = .
مثال ۱-۳: اگر و، آنگاه
=
=
=
=
نکته ۱-۳ : مثال ۱-۳ نشان می دهد که . در حالت خاصی که A=B باشد می توان نتیجه گرفت که = . اما عکس مطلب برقرار نیست، یعنی از تساوی = نمی توان نتیجه گرفت که A=B . زیرا اگر و =B باشد، آنگاه
== و ==
بنابراین = اما A.
جفت مرتب = z را در صفحه ی مختصات به صورت زیر نمایش می دهند:
حاصلضرب دکارتیرا نیز می توان به صورت مجموعه ای از نقاط واقع در صفحه ی مختصات در نظر گرفت.
مثال ۲-۳: حاصلضرب در مثال ۱-۳ روی محور مختصات به صورت زیر است :
خیلی خوب و عالی