پارادوکس راسل
پارادوکس راسل بیان می کند که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها چگونه به تناقض منجر می شود.این پارادوکس را به کمک دو لم و یک قضیه بیان می کنند.
لم ۱ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و  آنگاه  .
برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی  درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس
لم ۲ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و آنگاه .
برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس .
قضیه ۱۱ : مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود ندارد.
برهان : در لم ۱ و ۲ دیدیم که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها منجر به تناقض و می شود. پس مجموعه ی تمام مجموعه ها نمی تواند وجود داشته باشد.
به مجموعه ی مجموعه ی راسل گفته می شود. این مجموعه شامل آن مجموعه ها از مجموعه ی مفروض جهانی است که عضوی از خودشان نباشند.
به این ترتیب به پایان فصل دوم مبانی ریاضیات می رسیم.
|
خانواده ی دلخواهی از مجموعه ها باشد، آنگاه 
=
=
تعریف متمم
=
=
=I و خانواده ی 
نمایش می دهند.
;
موجود باشد و 
باشد. یعنی 
. اما مجموعه ی تهی بدون عضو است. پس گزاره ی عطفی پایانی یک تناقض است. بنابراین فرض خلف به تناقض می انجامد که نشان می دهد حکم اولیه 
=
یک گزاره ی درست باشد. اما چون تهی عضوی ندارد پس 
=
=
=
=
=
= 
=
=
عبارت بالا به صورت زیر در می آید:
=
=
= 
=
