روش حل معادله + سه مساله
درود فراوان به تمامي دوستان
چند روز پيش داشتم به کتاب تئوري مقدماتي اعداد نوشته مرحوم زنده ياد دکتر غلامحسين مصاحب نگاه ميکردم که در باب حل معادله و معادلات مطلب جالبي رو ديدم .
معادله زير رو در نظر بگيريد
اين معادله در کتاب جبر و مقابله از خوارزمي آمده است . اين معادله ، معادله ساده اي هست که به راحتي قابل حل مي باشد . حال ، حل اين معادله رو به روش محمد بن موسي خوارزمي دانشمند و رياضيدان قرن سوم هجري بخوانيد .البته صورت مساله هم به اين صورت که در بالا نوشتيم نبوده بلکه بدين صورت بوده است :
« عددي تعيين کنيد که حاصلضرب مجموع ثلثش با 1 در مجموع ربعش با 2 مساوي باشد با آن عدد بعلاوه ي سيزده ».
قبل از خوندن روش حل اين معادله لازم به ذکر مي باشد که رياضيون دوره اسلامي جمله معلوم معادله را عدد ، مجهول را شي ، و مربع مجهول را مال مي ناميدند.
« اگر گفته شود کدام عدد است که چون ثلث آن و يک در ربع آن و دو ضرب شود آن عدد بعلاوه ي سيزده بدست آيد طريق آن اينست که ثلث شي را در ربع آن ضرب کني نصف سدس مال ميشود و دو را در ثلث شي ضرب کني تا دو ثلث شي شود و يک را در ربع شي ضرب کني تا ربع شي حاصل شود و دو را در يک ضرب کني تا دو شود پس حاصل نصف سدس مال و دو عدد و يازده جزء از دوازده جزء شي ميشود که معادل است با شي بعلاوه ي سيزده عدد پس دو از سيزده بينداز يازده ميشود و يازده جزء از شي بينداز باقي مي ماند نصف سدس شي و يازده که بايد با نصف سدس مال معادل باشد مال را کامل کن به اين طريق که آن را در دوازده ضرب کني و دگر چيزهايي را که داراي در دوازده ضرب کني مال معادل ميشود با صد و سي و دو و شي قاعده ي آن اينست که شي را نصف کني ميشود يک نصف پس آن را در خودش ضرب کن ميشود يک ربع آن را به صد و سي و دو اضافه کن ميشود صد و سي و دو و يک ربع . جذر اين را بگير ميشود يازده و يک نصف آن را به نصف شي که يک نصف است بيفزا ميشود دوازده و آن عدد مطلوب است » .
ظاهرا رياضيدانان قديم استاد خوبي در نوشتن و تشريح مطالب و مسائل بودند . نکته اي که در اينجا وجود داره اينکه جوابهاي معادله نامبرده فوق 11 و 12- هستند که با توجه به اينکه اون زمان هنوز اعداد منفي شناخته نشده بودند آقاي خوارزمي جواب معادله رو فقط 11 بدست آورده بود .
واما سوالات جديد ...
سوال 1 – در شکل زیر مقدار x را بدست آورديد .
سوال 2 – اگر جمعيت يک شهر در هر سال به اندازه اضافه شود ، پس از چند سال جمعيت آن دو برابر مي شود
سوال 3 – اتاقي است که طول آن 30 متر ، عرض آن 12 متر و ارتفاع آن هم 12 متر است . روي خط قائمي که از وسط يکي از ديوارهاي کوچکتر گذشته است و به فاصله يک متر از سقف ، عنکبوتي واقع است . روي عمودي که از وسط ديوار مقابل گذشته است و به فاصله يک متر از کف اتاق مگسي قرار دارد . عنکبوت ، مگس را که از ترس نيمه جان شده بود و حتي تلاشي هم براي نجات خود نکرد ، دستگير کرد . مي خواهيم کوتاهترين راهي را که عنکبوت براي رسيدن به شکار خود مي تواند انتخاب کند ، پيدا کنيم .
واما پاسخ سوالات پست قبل . لازم ميدونم از دوستاني که زحمت کشيدن و مساله ها رو حل کردن تشکر کنم .
جواب سوال 1 – قبل از ارائه راه حل براي اين مساله لازم به توضيح که يکي از دوستان پاسخ صحيح اين مساله را ارائه کردند و در اينجا راه حل رو مي توانيد ببينيد.
فرض کنيم ، گربه در نقطه A و موش در نقطه C باشد ، AB ديوار قائم ، BC فاصله موش تا ديوار روي خط افقي و O نقطه اي باشد که در آنجا گربه توانسته است موش را بگيرد . در اينصورت OC=OA . نقطه O ، که بايد آنرا پيدا کنيم ، مرکز دايره اي است که از نقطه هاي A و C عبور مي کند .
D را نقطه اي مي گيريم که در آنجا دايره خط BC را قطع مي کند .
مثلث CAD ، که محاط در نيمدايره مي باشد ، در زاويه A قائمه است . در مثلث قائم الزاويه ارتفاع وارد بر وتر واسطه هندسي است بين دو قطعه وتر ، يعني
در نتيجه
از آنجا ، 10 = 8 + 2 = DC و 5 = OC و 3 = OB
بنابراين گربه در نقطه اي که به فاصله 3 متر از ديوار است ، موش را مي گيرد . و حل مساله کامل است .
جواب سوال 2 – براي حل اين مساله بايد به بعضي ملاحظه ها که به طور پنهاني در آن وجود دارد توجه کنيم .
براي سهولت در حل مساله ، به زبان عادي مرحله به مرحله را در نظر ميگيريم و به زبان جبري بيان ميکنيم .
الف ) تاجر سرمايه اي دارد
ب) که در سال 100 دلار آنرا خرج مي کند
ج ) به باقيمانده پولش ، یک سوم آن اضافه مي شود
د) در سال دوم ، دوباره 100 دلار خرج مي کند
ه ) به باقيمانده ، يک سوم آن ، اضافه مي شود
و) در سال سوم ، باز هم ، 100 دلار خرج مي کند
ح) و به باقيمانده ، يک سوم آن اضافه مي شود
بنابراين حل مساله ، منجر به حل اين معادله مي شود
بنابراين
در نتيجه يعني سرمايه تاجر در ابتدا 1480 دلار بوده و حل مساله کامل است .
جواب سوال 3 – اين مساله از اون نوع مسائلي هست که در ظاهر شايد سخت باشه ولي اگر به روابط مثلثاتي آشنايي داشته باشيم و کمي تمرکز به راحتي قابل حل خواهد بود .
مي دانيم
بنابراين
به روش مشابه خواهيم داشت
با استفاده از رابطه
مي توان نوشت
يا به عبارتي
که با محاسبه مقدار دقيق بدست خواهد آمد و حل مساله کامل است .
جواب سوال 4 – اولين کارگاه خودکار در ساعت 8 شروع بکار کرده است . و 15 کارگاه بقيه هر يک بفاصله ساعت ، بنابراين همه کارگاهها بعد از نيم ساعت کار را شروع کرده اند.
کار 16 کارگاه در 5/6 ساعت چنين مي شود
و براي محاسبه محصول کارگاهها در فاصله نيم ساعت اوليه ، از تصاعد حسابي استفاده مي کنيم :
که بنا به مفروضات مساله داريم در نتيجه
و بنابراين جواب کل برابر است با 108 متر و حل مساله کامل است .
جواب سوال 5 – فرض کنيد تعداد افرادي که با هر دو نفر دست مي دهند n باشد . شخص a را در نظر بگيريد ، فرض کنيد
{افرادي که با a دست داده اند } = B
{افرادي که با a دست نداده اند } = C
مي دانيم
اگر باشد ، افرادي که هم با a و هم با b دست مي دهند در B هستند ، پس b با n نفر در B دست مي دهد و با نفر در C .
اگر باشد همه افرادي که هم با a و هم با c دست مي دهند در B هستند پس c با n نفر در B دست مي دهد .
پس در مجموع تعداد دست دادنهاي بين B و C رابطه زير را نتيجه مي دهد .
حال براي داريم و 4m صحيح نخواهد بود. و براي ، فقط براي 3 = k جواب صحيح داريم ، پس 36 نفر در ميهماني بوده اند . و جواب کامل است.
شاد باشید.