آنالیز ریاضی۲ جلسه اول( پس از ویرایش )

 

سر فصل ها

توابع با تغییرات کراندار
1. انتگرال ریمان-اشتیل یس
2. دنباله توابع
3. سری فوریه

توابع با تغییرات کراندار

تعریف۱-۱: یک افراز از  بازه ی عبارتست از تعداد متناهی از نقاط چونکه

تعریف۲-۱: اگر یک افراز از بازه باشد ، هر بازه ی را یک زیر بازه از افراز P گوییم.

 تعریف۳-۱: اگر  افرازی از بازه ی باشد ، آنگاه نرم P را با ||P|| نشان می دهیم و عبارتست از

                                               

تعریف۴-۱: فرض کنیم یک تابع باشد.در این صورت، برای هر افراز از ، تعریف می کنیم

                                                        

مثال۱-۱: اگر افرازی از باشد و اگر   

آنگاه 

و

          

تعریف ۵-۱:  تابع را بر با تغییرات کراندار نامیم هرگاه بتوان عددی مانند M به گونه ای یافت که به ازای هر افراز P از داشته باشیم

                                                 

قضیه۱-۱: هر تابع یکنوا بر بازه با تغییرات کراندار است .

برهان :فرض کنیم f بر بازه صعودی باشد، در این صورت قرار می دهیم

 

برای هر افراز از داریم

لذا f با تغییرات کراندار است. در صورتی که f نزولی باشد، با برهانی مشابه، نتیجه مطلوب حاصل خواهد شد.ð

قضیه۲-۱: هر تابع با تغییرات کراندار بر ، بر این بازه کراندار است .

برهان: فرض کنیم f بر با تغییرات کراندار باشد و M>0 چنان باشد که به ازای هر افراز P از

 

 در این صورت اگر دلخواه باشد، افراز را در نظر بگیرید. در این صورت داریم

از طرفی داریم

یعنی f کراندار است. ð

نتیجه۱-۱: اگر f بر بازه ای با تغییرات کراندار باشد، بر این بازه، کراندار است . اما در حالت کلی عکس این مطلب درست نیست . یعنی ممکن است تابعی کراندار باشد ولی با تغییرات کراندار نباشد.

مثال۲-۱:  فرض کنیم  در این صورت f بر هر بازه مخصوصاً [1 ، 0] کراندار است. در این صورت برای هر عدد طبیعی M ، افراز  که در آن  در این صورت

                      

 نشان می دهد که f با تغییرات کراندار نیست.

قضیه ۳-۱: اگربر بازه دارای مشتق کراندار باشد، آنگاه f بر با تغییرات کراندار است.

برهان: فرض کنید

قرار می دهیم  .در این صورت برای هر افراز از بازه داریم 

                                            

بنابر قضیه مقدار میانگین

                            

در نتیجه

                  

لذا

   

 و برهان کامل است.ð

نتیجه ۲-۱ : هر چند جمله ای، بر هر بازه با تغییرات کراندار است .