نکته۱. متمم. تفاضل متقارن .نکته۲، نکته ۳

نکته ۱: برای دو مجموعه دلخواه A و B ، اگر= ، آنگاه A و B را دو مجموعه مجزا گویند.

۵.  متمم  : اگر A و B  دو مجموعه ی دلخواه باشند، « متمم A نسبت به B »، « مجموعه ایست شامل تمام عناصری که عضو B هستند و عضو A نیستند».« متمم A نسبت به B » را با نماد « B-A » نشان می دهند . به عبارت دیگر متمم A نسبت به B  یعنی

 =  B-A

 نکته ۲ : اگر U  مجموعه مرجع یا جهانی ( مجموعه ای که تمام مجموعه ها نسبت به آن سنجیده می شوند. )باشد و A مجموعه ای دلخواه از U باشد ،  آنگاه « متمم A نسبت بهU » را با نماد « 'A » نشان می دهند که « مجموعه ایست شامل تمام عناصر U که در A نیستند». یعنی:

=A'= U-A 

 ۶. تفاضل متقارن : اگر A و B  دو مجموعه ی دلخواه باشند، « تفاضل متقارن  A و B  مجموعه ایست شامل تمام عناصری که یادر A باشند یا در B و نه در هر دو».« تفاضل متقارن  A و B  » را با نماد « A B »  نشان می دهند. در بعضی کتاب ها تفاضل متقارن  را با نماد «  A B » نشان می دهند.

 =  A B

نکته۳.  تفاضل متقارن   A و B  را  به صورت های زیر نیز تعریف می کنند:

 (  ) - () =  A B

 =  A B

اثبات این نکته در جلسه آینده بیان خواهد شد.

  - ۳ -

---

صفحه قبلی :  « ۲ » ،  « ۱ »

فصل ۱ مبانی ریاضیات

۲. تساوی-زیرمجموعه- اجتماع-اشتراک مجموعه ها

توضیح : نماد سه نقطه در یک مجموعه نشان می دهد که عناصر مجموعه با یک ترتیب خاص ادامه می یابند. از ویرگول « ، » نیز برای جدا کردن عناصر مجموعه از یکدیگر استفاده می کنیم.

 اعمال مجموعه ها :

برای مجموعه ها نیز اعمالی تعریف می شود که می توان با کمک این اعمال ، مجموعه های جدید ساخت. در مقام مقایسه ، اعمال روی مجموعه ها مانند اعمال اعداد حسابی است. 

۱. تساوی مجموعه ها : اگر A و B دو مجموعه باشند، A و B را مساوی گوییم هرگاه عناصر یکسان داشته باشند و با نماد « A = B » نشان می دهیم. به عبارت دیگر« A و B مساوی اند اگر و تنها اگر هر عضو A در B  و هر عضو B در A باشد »، یعنی

    ( ۱ )

این عمل شبیه عمل تساوی دوعدد است.

 ۲.  زیر مجموعه : « مجموعه A را زیر مجموعه B گوییم اگر و تنها اگر هر عضو A ، عضوی از B باشد. A  زیر مجموعه B را با نماد «نشان می دهیم و«  A  زیر مجموعه B خوانده می شود. با استفاده از سورها به صورت زیر نشان داده می شود:

      ( ۲ )

 اگر ، گوییم « A  زیر مجموعه B » یا « B ابر مجموعه A » است. این عمل شبیه عمل « » در اعداد حسابی است. اگر و ، آنگاه گوییم « A  زیر مجموعه ی سره B » یا « B ابر مجموعه ی سره A » است و می نویسیم « ». که در این صورت شبیه عمل « > » خواهد بود.

 ۳. اجتماع دو مجموعه : اگر A و B دو مجموعه دلخواه باشند، اجتماع  A و B ، « مجموعه ایست که شامل تمام عناصر مجموعه های  A و B می باشد. اجتماع  A و B را به صورت « » نشان می دهند و به صورت زیر تعریف می شود :

=     ( ۳ )

 تساوی ( ۳ ) این گونه خوانده می شود :« A اجتماع B برابر است با مجموعه ی تمام x هایی که x عضوی از A یا عضوی از B است ». نماد « ; » در این گونه موارد معنی « به طوری که » می دهد. همچنین نماد « | » در داخل نماد مجموعه ساز به همین معنی به کار می رود. 

عمل اجتماع مجموعه ها شبیه عمل « + » در اعداد حسابی است.

۴. اشتراک دو مجموعه  : اشتراک دو مجموعه ی A و B ، « مجموعه ایست شامل تمام عناصری  که هم عضو A و هم عضو B باشند ».  A اشتراک B را با نماد « » نشان می دهند. پس :

=      ( ۴ )

عمل اشتراک مجموعه ها شبیه عمل ضرب « × » در اعداد حسابی است.

  - ۲ -

---

صفحه قبلی :  « ۱ »

۲.۱ مجموعه ها

فصل دوم « مجموعه ها »

چشم اندازی به آنچه در این فصل خواهیم گفت :

ابتدا به بیان مفهوم مجموعه می پردازیم و سپس روابط حاکم بر مجموعه ها و پس از آن چند قضیه در مجموعه ها را بیان و اثبات می کنیم . پس از مجموعه ها ، به مفهوم خانواده و خانواده مجموه های اندیس دار خواهیم پرداخت که این قسمت نیز با تعاریف و قضایای مربوطه همراه خواهد شد. سرانجام به بیان پارادکس راسل می پردازیم.

« مجموعه ها Sets »

تعریف ها : تعریف مجموعه ، شاید در ابتدا ساده و ابتدایی به نظر برسد، اما از مهمترین و اساسی ترین مفاهیم در ریاضیات جدید است.

نخستین تعریف علمی مجموعه، در پایان قرن ۱۹ میلادی ، سال ۱۸۹۵ توسط «‌ گئورگ کانتور Georg Cantor  » بیان شده است. ما نیز از تعرف کانتور استفاده می کنیم. کانتور یک مجموعه را به صورت زیر تعریف می کند :

 یک مجموعه ، گردایه ای از اشیاء متمایز در فکر یا شعور ماست که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود.

هر یک از اشیاء متمایز در مجموعه را ، یک عضو یا یک عنصر از مجموعه گوییم. در ریاضیات، مجموعه ها را با ثبت عناصرشان بین دو ابرو , بیشتر با حروف بزرگ لاتین مانند A و ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌B و ... و عناصر مجموعه را با حروف کوچک لاتین مانند a و b و ... نشان می دهند. عناصر مجموعه ی A دلخواه است  و می تواند اعداد، حروف، اشیاء، حیوانات و... را در برگیرد ، اما بحث ما در ریاضیات به مجموعه اعداد کشیده می شود.

 اگر عنصر x ، عضوی از مجموعه داده شده ی A باشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A است » یا « x متعلق به مجموعه ی A است. » و با نماد « » نشان می دهیم. پس نماد « » به معنای « متعلق بودن به » بکار می رود.

اگر عنصر x ، در مجموعه ی داده شده ی A نباشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A نیست » یا « x متعلق به مجموعه ی A نیست. » و با نماد « » نشان می دهیم و نماد « » برای « عضو نبودن » بکار برده می شود.

مهمترین مجموعه هایی که ما در این درس با آنها سر وکار داریم به قرار زیر است:

۱. مجموعه تهی« impety set » ‌: مجموعه ای را که هیچ عضوی نداشته باشد، مجموعه تهی گویند. این مجموعه را با نماد یا  ‍‍‌‍‍{} نشان می دهیم.

۲.  مجموعه اعداد طبیعی « set of natural number » :در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با IN نشان می دهند و به قرار زیر است:

۳. مجموعه اعداد حسابی : این مجموعه را  با W نشان می دهند :

۴.  مجموعه اعداد صحیح : این مجموعه را  با Z  نشان می دهند :

۵. مجموعه اعداد صحیح زوج :این مجموعه را  با E نشان می دهند :

۶. مجموعه اعداد صحیح فرد : این مجموعه را  با O نشان می دهند :

۷. مجموعه اعداد گویا : این مجموعه را  با Q نشان می دهند :

۸. مجموعه اعداد حقیقی : این مجموعه را  با IR نشان می دهند، که شامل تمام اعدا اصم و گویا می باشد. عددی را که نتوان به صورت یک عدد گویا نوشت ، یک عدد گنگ یا اصم گویند مانند  و p .

  - ۱ -

۲۳.قضیه ۹ « توزیع دو جمله ای »

قضیه ۹« توزیع دو جمله ای »  :

اگر x و y دو عدد حقیقی و n یک عدد طبیعی باشد ، آنگاه

    ( ۱ )

برهان : این قضیه را نیز با استقرا ثابت می کنیم :

۱. n=1 :

    ( ۲ )

 ۲. اگر قضیه برای n=k برقرار باشد یعنی داشته باشیم :

     ( ۳ )

. اگر دو طرف تساوی ( ۳ ) را در x+y ضرب کنیم : 

( ۴ )   

و این نتیجه مطلوب است که در گام آخر تساوی های  ( ۴ )  ، از این حقیقت استفاده شده است که و . بنابراین حکم به استقرا برقرار است و قضیه دو جمله ای برای تمام اعداد طبیعی درست است.

در قضیه دو جمله ای  به     ، ضرایب دوجمله ای می گویند.

به این ترتیب به پایان فصل اول مبانی ریاضیات می رسیم .

  - ۲۳ -

---

 تمام صفحه های فصل اول مبانی ریاضیات دانشگاهی : « ۲۲ » ، « ۲۱ » ، « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »

۲۲. تعریف های استقرایی و قضیه ۸

تعریف های استقرایی :

در بسیاری از تعاریف در ریاضیات ، از استقرا استفاده می شود. نمونه وار در اعداد حقیقی ، توان های طبیعی اعداد به صورت استقرایی تعریف می شوند. اگر x عددی حقیقی و n عددی طبیعی باشد ،  xⁿ⁺¹=xⁿ.x

بنابراین

x¹=x

x²=x¹.x

x³=x².x   و ....

همچنین

  x=x

2x=x+x

3x=2x+x   و ... nx=(n-1).x  .

فاکتوریل ! : اگر n  یک عدد طبیعی باشد، آنگاه !n ( بخوانید n فاکتوریل ) ، غبارتست از حاصلضرب اعداد طبیعی ِ کوچکتر یا مساوی با n . و به صورت استقرایی به قرار زیر است :

۱=!۱

۲×۱=!۲

!۲×۳=!۳

 

همچنین بنابر قرارداد ۱=!۰ .

تعریف  : اگر n یک عدد طبیعی و r یک عدد صحیح باشد، به صورت زیر تعریف می شود :

 

و اگر 

 

قضیه ۸ :  اگر n  و  r اعداد صحیح باشند و  ، آنگاه

       ( ۱ )

.

برهان : این قضیه را به استقرا ثابت می کنیم . ۱. ابتدا نشان می دهیم

    ( ۲ )

. از آنجا که  پس r=0  یا r=1  . اگر r=0 ، طبق تعریف داریم :

    ( ۳ )

و اگر r=1  :

    ( ۴ )

 پس به ازای  n=1 گزاره حکم برقرار است .

۲. حال فرض کنیم گزاره حکم به ازای n=k برقرار باشد( فرض استقرا) . یعنی

    ( ۵ )

که r را بین 0 و k  دلخواه اما تزین پس ثابت در نظر می گیریم . باید نشان دهیم :  

     ( ۶ )

طبق تعریف داریم :

      ( ۷ )

که در گام دوم تساوی های ( ۷ ) از برقراری فرض استقرا برای n=k استفاده شده است. تساوی های ( ۷ ) ما را به نتیجه مطلوب می رساند.

  - ۲۲ -

---

 صفحه های قبل : « ۲۱ » ، « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »