تقدیم به آقای زارعی۲

 ( قضیه 10.6 از کتاب رودین ) : فرض کنیم f بر کراندار بوده و تعداد متناهی نقطه ناپیوستگی بر  داشته باشد و α در هر نقطه ناپیوستگی f پیوسته باشد. در این صورت  بر . 

برهان: فرض کنیم E مجموعه نقاط ناپیوستگی ِ f بر باشد ، پس  و f برپیوسته است. همچنین f بر کراندار است پس می توان فرض کرد  

 

 فشرده است . لذا دارای پوشش باز متناهی است. پس E را نیز می توان با پوششی متناهی پوشاند. از انجا که α بر پیوسته است پس پیوسته یکنواخت است . بنابراین به ازای ε >0 داده شده 

 

چون E متناهی است با توجه به پیوستگی یکنواخت α بر ، می توان E را با بازه های جدا از هم  طوری پوشاند که

 

و حتی می توان این بازه ها را طوری در نظر گرفت که هر نقطه ناپیوستگی ِ f داخل یکی از  ها باشد.

حال اگر بازه های باز  را از برداریم ، یعنی اگر  آنگاه K فشرده است و f بر k پیوسته است لذا پیوسته یکنواخت است. پس به ازای ε >0 فوق ،

 

افراز از را طوری می سازیم که  ولی اگر  آنگاه مثلا ً P  می تواند به صورت زیر باشد

 

(بین u_j و v_j هیچ عضوی وجود ندارد) و اگر   آنگاه و  و  . حال طبق شرط کشی داریم به ازای هر افراز P ظریفتر داریم

 

چون ε دلخواه است پس بر . 

تقدیم به آقای زارعی : ۱

 

دانشجویی درباره ی انتگرال گیر ( α) در انتگرال ریمان-اشتیل یس سوال کرده است.

با توجه به آموخته های ما؛ به نظر می رسد تفاوتی میان انتگرالده و انتگرالگیر وجود نداشته باشد، چنانچه در تعریف انتگرال ریمان-اشتیل یس شرایط مساوی برای این دو تابع در نظر گرفته می شود ( تعریف:2-10 ) و در قضیه انتگرالگیری جزء به جزء می بینیم که اگر  بر   آنگاه  یعنی می توان نقش دو تابع f و α را عوض کرد که با رابطه ی زیر به هم مرتبط می شوند.

 

و همچنین در قضیه ی ( 2-6) می بینیم که اگر α بر دارای مشتق پیوسته باشد و  ، آنگاه می توان انتگرال ریمان-اشتیل یس را به انتگرال ریمان تبدیل کرد ، یعنی انتگرال ریمان حالت خاصی از انتگرال ریمان اشتیل یس است.

 

سوال دیگر در باره ی قضیه 7.6 از کتاب رودبن:

آ : هرگاه به ازای هر P و ε ی رابطه ی

 

برقرار باشد، به ازای هر تظریفِ P ( با همان ε ) این رابطه نیز برقرار خواهد بود یعنی اگر  آنگاه به ازای ε >0 فوق نیز داریم:

 

برهان آ: با توجه به قضیه 2-12  ، اگر α بر صعودی باشد آنگاه

( ۱)     و    (۲)

بنابراین

(۳)  

حال اگر روابط (1) و (3) را با هم جمع کنیم داریم

. 

 ب : هرگاه با ازای  رابطه ی   برقرار باشد، و s_i و t_i نقاط دلخواهی در   باشند، آنگاه 

 

برهان ب :  اگر M_i و  m_i را به ترتیب زیر فرض کنیم 

  و  

در این صورت به ازای هر خواهیم داشت  و همچنین اگر s_i و t_i نقاط دلخواهی در باشند، داریم

 زیرا    و   و لذا  

 پس  و چون  بنابراین 

 

حال داریم 

 

پس حکم بر قرار است.