۱۰. شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان اشتیل یس

شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان-اشتیل یس

در بسیاری از قضیه های پیشین ، با باور به وجود انتگرال ها ، ویژگی های آن ها را بررسی کردیم. اکنون این پرسش پیش می آید که انتگرال ریمان-اشتیل یس در چه مواردی وجود خواهد داشت. در ادامه دو شرط کافی و مفید برای انتگرال پذیری بیان خواهد شد.

قضیه ۲-۱۶ : اگر یکی از توابع f و  a  بر  پیوسته و دیگری بر این بازه با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نسبت به a  و a   نسبت به f بر  دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهند بود.

برهان : ابتدا فرض کنیم که f بر  پیوسته و   a  بر این بازه با تغییرات کراندار باشد. از آن جا که هر تابع با تغییرات کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، قضیه را تنها برای حالتی که a  بر این بازه صعودی باشد ، ثابت می کنیم.

اگر در این صورت a  بر  تابع ثابت است. پس   و حکم برقرار است. اما اگر   . پیوستگی f بر ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه در بر دارد. پس اگر e>0 داده شده باشد ، ی هست که

 

 که . افراز   از  را طوری انتخاب می کنیم که  . اگر   افرازی ظریفتر از  باشد ، داریم و بنابراین برای هر  خواهیم داشت

 

. چون  a  صعودی است پس  و داریم

 

حال با جمعبندی روی k خواهیم داشت

 

این رابطه نشان می دهد که شرط ریمان برای تابع  f نسبت به a بر  برقرار است. یعنی بر  . و بنابر قضیه انتگرال گیری جزء به جزء  . این نتیجه مطلوب است وحکم برقرار است. ÿ   

---

تمامی مطالب قبلی فصل ۲

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۸ قسمت ۲ ( پس از ویرایش)

انتگرال گیرهای با تغییر کراندار

توضیح : در فصل 1 دیدیم که هر تابع با تغییر کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت. پس اگر a بر تابعی  با تغییر کراندار باشد، می توان نوشت  که  و  بر صعودی اند. اگر  و  برآنگاه  از ویژگی خطی در می یابیم که بر . اکنون این پرسش مطرح می شود که آیا عکس مطلب همواره برقرار است یا نه؟ یعنی اگر  بر و a را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی  و  نوشت، آیا می توان نتیجه گرفت که  و ؟

در پاسخ باید گفت : چون نمایش تابع a  ( a با تغییرات کراندار است ) به صورت تفاضل دو تابع صعودی ، منحصر به فرد نیست، اگر ؛ می توان توابع صعودی   و یی پیدا کرد که هیچ یک از انتگرال های   و موجود نباشد. اما در قضیه زیر ثابت می کنیم که دست کم برای یک نمایش تابع a و آن هم به صورت  انتگرال های فوق موجود خواهند بود.

قضیه 2-15: انگار a  بر با تغییرات کراندار باشد و تابع  تابع تغییر کل تابع  a  بر بازه ی به طوری که  باشد. با این شرایط اگر  بر ، آنگاه بر خواهد بود.

برهان: طبق تعریف V می دانیم  ، اگر V(b) =0  ، پس V  بر تابعی ثابت است و  . اگر  ، چون V صعودی است ، کافی است ثابت کنیم f  در شرط ریمان بر حسب V بر  صدق می کند. اگر و e>0  داده شده باشد ، را به گونه ای اختیار می کنیم که  برای هر افراز  و هر  داشته باشیم

    (۱)

و چون a بر با تغییر کراندار است

     ( ۲)

که M کران بالای  است، یعنی  . با افرازP  فوق شرط ریمان را برای V می نویسیم

 

پس اگر ثابت کنیم

     ( *)

و

     ( ** )

برهان تمام است. برای اثبات (*) ، چون

 

و با توجه به (2) خواهیم داشت

 

و (**) را به  ترتیب زیر اثیات می کنیم . گیریم

 

و

 

و

 

اگر ؛   را طوری اختیار می کنیم که

 

و اگر   ؛    را طوری اختیار می کنیم که

 

در این صورت

 

پس f در شرط ریمان نسبت به V بر صدق می کند و برهان کامل است.

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۸ قسمت ۱ (پس از ویرایش )

قضیه 2-12: انگار a بر  صعودی باشد، در این صورت سه گزاره ی زیر هم ارزند.

۱. بر .

۲. f  در شرط ریمان بر حسب a برصدق می کند.

۳.  .

برهان : نشان می دهیم که گزاره ی 2 از 1 و گزاره ی 3 از 2 و گزاره ی 1 از 3 بدست می آید.

انگار گزاره ی 1 برقرار باشد ، یعنی  بر بازه ی ، اگر e>0 داده شده باشد، افرازهای  P₁ و P₂  از وجود دارند که

 

و

 

اگر ، در این صورت با توجه به قضیه قبل داریم

 

که نشان می دهد

 

پس  f  در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند.

اکنون اگر گزاره ی 2 برقرار باشد و e>0 داده شده باشد، افرازی مانند هست به طوری که به ازای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

 

از این رو داریم

 

پس به ازای هر e>0 داریم

   ( * )

از طرفی می دانیم

  ( ** )

با توجه به ( * ) و ( ** ) داریم

 

سرانجام اگر گزاره ی 3 برقرار باشد نشان می دهیم گزاره ی ۱ برقرار است.

پس انگار

 

نشان می دهیم موجود و برابر با A است.

به ازای e>0 داده شده، طبق تعریف انتگرال بالایی می توان  را طوری برگزید که به ازای هر افرازP ظریفتر از آن داشته باشیم

 

همچنین را طوری برگزید که به ازای هر افرازP ظریفتر از آن داشته باشیم

 

در این صورت با گزینش  به ازای هر افراز ِP ظریفتر ازخواهیم داشت

 

یعنی

 

پس و این پایان برهان است.ÿ

قضیه 2-13: اگر a بر صعودی باشد و  و بر و برای هر داشته باشیم  آنگاه

 

برهان این قضیه به سادگی با استفاده از تعاریف بدست می آید. ÿ

با توجه به این قضیه اگر a بر صعودی و  و  آنگاه

 .

قضیه 2-14: انگار a بر  صعودی و   بر، آنگاه  بر و

 

برهان: با توجه به 

 

و

 

و همچنین رابطه ی

 

خواهیم داشت

(*)     

اگر e>0 داده شده باشد ، چون  ، پس افراز  از موجود است به طوری که به ازای هر  داریم

 

در این صورت طبق نابرابری (*) برای هر افراز  داریم

 

پس در شرط ریمان بر حسب a بر بازه ی صدق می کند و  از طرفی چون 

 

لذا طبق قضیه 2-13 داریم

 

که این پایان برهان خواهد بود.ÿ

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت دوم( پس از ویرایش)

قضیه 2-11: انگار a بر صعودی باشد ، در این صورت

۱. اگر از P ظریفتر باشد آنگاه

     و    

۲. به ازای هر دو افراز P₁ و P₂  داریم

 

برهان : 1. اگر افرازP به صورت  داده شده باشد، کافی است افراز  که  را در نظر  بگیریم. یعنی اگر مجموع بالایی اشتیل یس برای افراز را تشکیل دهیم

 

که در آن  و به ترتیب سوپریمم های تابع f  بر بازه های  و گزینش شده اند. چون  و  پس

 

از طرفی برای افرازهای فوق اگربه ترتیب اینفیمم تابع f  بر بازه های  و باشد داریم  و  و لذا

 

۲. با افرازهای P₁ و P₂ داده شده  افراز جدید  را می سازیم. در این صورت با توجه به رابطه زیر ، حکم قضیه برقرار است

 

.  

نتیجه : با توجه به قضیه 2-11 ، اگر a بر  صعودی باشد و m  وM به ترتیب اینفیمم و سوپریمم f بر باشند ، برای هر افراز P₁ و P₂  رابطه زیر برقرار است

 

با توجه به مجموع پایینی و بالایی اشتیل یس ِ تابع f نسبت به a بر می توان تعریف زیر را ارائه داد.

تعریف : انگار a بر صعودی باشد ، انتگرال اشتیل یس بالایی f  نسبت به a بر عبارت است از

 

همچنین انتگرال اشتیل یس پایینی f نسبت به a بر عبارت است از

 

همچنین اگر باشد، آنگاه انتگرال های بالا را به ترتیب به صورت  و  

خواهد بود که آنها را انتگرال بالایی و پایینی ریمان گویند.

به راحتی می توان دید که

 

کنجکاویم بدانیم که اگر انتگرال های بالایی و پایینی با هم برابر باشند، می توان مجموع های بالایی و پایینی را هم به اندازه دلخواه به هم نزدیک کرد یا نه. در شرط ریمان این نکته را می یابیم.

شرط ریمان : گوییم f در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند در صورتی که به ازای هر e>0، افرازی مانند باشد به قسمی که هرگاه P  از ظریفتر باشد، آنگاه 

 

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت اول(پس از ویرایش)

با قضیه  زیر به این امکان می رسیم که مقدار یک انتگرال بر بازه ی بسته را به مجموع مقدار های این تابع درعدد های صحیح ِ این بازه مربوط کنیم که دارای این مزیت است که گاهی می توان یک انتگرال را به یک مجموع نزدیک کرد و یا یک مجموع را با یک انتگرال تخمین زد. این قضیه به قضیه جمع بندی اویلر معروف است.

قضیه ۲-۱۰: ( قضیه جمعبندی اویلر )

اگر f بر مشتق پیوسته داشته باشد و

که در آن [x] ، تابع جزء صحیح است ؛ آنگاه

برهان : با استفاده از قضیه انتگرال گیری جزء به جزء داریم

  ( ۱)

همچنین با توجه به مثال جلسه قبل داریم :

    ( ۲)

و همچنین طبق خواص انتگرال داریم

  ( ۳)

حال از روابط ( ۱) و ( ۲) و ( ۳) خواهیم داشت

به این ترتیب حکم برقرار است.

اکنون می خواهیم در مورد انتگرال گیر های صعودی بحث کنیم. وقتی a صعودی باشد ، ها همگی نامنفی اند.

تعریف : فرض کنیم P یک افراز از باشد ،

را مجموع اشتیل یس  پایینی و

را مجموع اشتیل یس بالایی ِ تابع f نسبت به a برنامیده می شود که در آن

و

یاد آوری :  همواره

، هرگاه a بر صعودی باشد ، آنگاه  و بنابراین

از طرفی به ازای هرداریم

بنابراین

یعنی