آنالیز ریاضی۲ جلسه سوم ( پس از ویرایش )

چشم انداز: حال که با مفهوم توابع با تغییرات کراندار آشنا شدیم ، می خواهیم بدانیم که آیا همه توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند؟ یا حتی اگر f  با تغییرات کراندار باشد ، چه رابطه ای بین پیوستگی f و V_f  بر بازه های بسته وجود دارد ؟ و در پایان این بخش به محاسبه ی V_f  از روی تابع f می پردازیم.

مثال زیر در پاسخ به این سوال که آیا تمام توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند، به ما کمک می کند.

مثال ۴-۱ : اگر  تابعی پیوسته با ضابطه ی زیر باشد

 

به ازای هرعدد طبیعی n  می توان افرازهای P_n  را به صورت زیر در نظر گرفت

 

در این صورت خواهیم داشت

 

حال چون سری واگراست لذا سوپریمم ها به ازای  وجود ندارد و از طرفی طبق رابطه ی زیر

 

نتیجه می گیریم که f  بر بازه ی  با تغییرات کراندار نیست.

این مثال نشان داد که توابع پیوسته ای بر بازه های بسته وجود دارند که با تغییرات کراندار نیستند.

در قضیه زیر رابطه ی بین پیوستگی یک تابع با تغییرات کراندار بر[a,b]  را با پیوستگی تابع تغییرات کل آن روی همان بازه بررسی می کنیم.

قضیه ۷-۱ : اگر f  بر بازه ی  [a,b]  با تغییرات کراندار باشد ، در این صورت f  بر هرپیوسته است اگر و فقط اگر V_f  بر این نقطه پیوسته باشد.

 برهان : ابتدا فرض کنیم  V_f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست که

 

با توجه به بحث های قبلی داریم

 

این رابطه نشان می دهد که f  بر هر پیوسته است .

بر عکس فرض کنیم  f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست به طوری که برای هر  و داریم

 

همچنین افراز  ( با فرض ) وجود دارد به طوری که

           ( ۱)  

در افراز فوق می توان فرض کرد  زیرا حتی اضافه کردن چنین x₁ ی به افراز P₁ ، از مجموع آن چیزی نمی کاهد . بنابراین داریم

 

از طرفی داریم

   ( ۲)

با تلفیق روابط (1) و (2) داریم

 

یعنی

 

از طرفی داریم

 

بنابر این نتیجه می شود که اگر  آنگاه

 

لذا V_f  در نقطه ی از طرف راست پیوسته است . به طور مشابه می توان ثابت کرد که V_f در نقطه ی از طرف چپ پیوسته است . بنابراین V_f به ازای هرپیوسته است. این پایان برهان خواهد بود   .ð

برای ادامه بحث به چند تعریف نیازمندیم :

تعریف ۸-۱: نگاشت پیوسته f از [a,b]  به R را یک منحنی در R  گوییم . همچنین اگر f یک به یک باشد، آن را کمان یا قوس گوییم.

تعریف ۹-۱: منحنی f که بر بازه ی  [a,b]  تعریف شده را طول پذیر گوییم هرگاه f بر این بازه با تغییرات کراندار باشد.

یاد آوری :

 

قضیه زیر ما را در محاسبه تغییرات کل تابع در بازه ی  [a,b]  یاری می کند.

قضیه ۸-۱: اگر 'f  بر بازه ی  [a,b]  یک منحنی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نیزبر این بازه، یک منحنی با تغییرات کراندار است و داریم

 

برهان : برای هر افراز از بازه  [a,b]  داریم

 

یعنی

          (*)

این نشان می دهد که منحنی f بر  [a,b]  با تغییرات کراندار است.

از طرفی پیوستگی 'f  بر بازه [a,b] ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه نتیجه می دهد ، بنابراین

 

بنابراین با فرض ||P||<d  برای هر داریم

 

بنابراین اگر داریم

 

از طرفی

 

بنابراین

 

با جمع بندی رابطه ی اخیر برای i=1,2,…,n داریم

 

یعنی

   

برای هر e>0 دلخواه. بنابراین

          (**)

با توجه به روابط (*) و(**) برهان کامل می باشد .ð

با این قضیه به پایان مبحث توابع با تغییرات کراندار رسیدیم. جلسات آینده ، مبحث انتگرال ریمان-اشتیل یس را شروع می کنیم .

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۲ ( پس از ویرایش)

 تعریف ۶-۱ : فرض کنیم با تغییرات کراندار باشد. در این صورت بنا بر تعریف اگر P یک افراز بر باشد آنگاه از بالا کراندار است. لذا دارای سوپریمم است . سوپریمم مجموعه فوق را تغییر کل تابع f از a تا b می نامیم و می نویسیم

یعنی

قضیه ۴-۱: فرض کنیم f و g  بر بازه با تغییرات کراندار باشد . در این صورت  f+g  و f-g و f.g  نیز بر با تغییرات کراندارند و داریم

که در آن

برهان : فرض کنیم  افرازی از بازه ی باشد،

و لذا 

یعنی  بر بازه با تغییرات کراندار است.

برای افراز فوق

زیرا

و به این ترتیب برهان قضیه کامل می شود.ð

قضیه ۴-۱ : فرض کنیم f  بر بازه با تغییرات کراندار باشد و عدد m>0  موجود باشد به طوری که   آنگاه  بر بازه با تغییرات کراندار است و

برهان :

 فرض کنیم افرازی دلخواه از بازه ی باشد، داریم

و این نتیجه ی مطلوب است .ð

قضیه ۵-۱: فرض کنیم f  بر بازه  با تغییرات ِ کران دار است. در این صورت  f  بر[a,c]  و    [c,b] ( که c بین a وb است) با تغییرات کراندار است و

برهان : اگر P₁ افرازی ازو P₂  افرازی از باشد ، آنگاه   افرازی از بازه ی  است و 

پس 

   

در نتیجه f بر بازه های و با تغییرات کراندار است و

  ( ۱)

بر عکس  فرض کنیم P  افرازی ازباشد ، قرار می دهیم و و در این صورت 

 

واز طرفی چون افراز Pّ  ظریف تر از افراز P است داریم:

لذا

( ۲)

روابط ( 1 ) و( 2 ) ما را به پایان برهان می رساند. 

تعریف ۷-۱ : فرض کنیم f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، برای هر تعریف می کنیم

 

بنابر قضیه قبل، این تعریف با معناست و اگر  آنگاه

 

پس V بر بازه ی صعودی است.

قضیه ۶-۱ : f  بر بازه ی با تغییرات کراندار است اگر و فقط اگر بتوان آن را به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت.

برهان: اگر f  را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، آنگاه چون توابع یکنوا بر بازه های بسته، باتغییرات کراندارند، لذا f  با تغییرات کراندار است.

برعکس اگر f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه قرار می دهیم  . دیدیم که V_f  صعودی است .

اگر آنگاه داریم 

 

لذا تابع  صعودی است و برهان کامل است.ð

مثال۳-۱ : تابع  بر بازه با تغییرات کراندار است و تابع  نیزبر بازه با تغییرات کراندار است.

نکته۱-۱ : مثال فوق نشان می دهد که نمایش ِ تابع با تغییرات کراندار، به صورت تفاضل دو تابع صعودی منحصر به فرد نیست .

آنالیز ریاضی۲ جلسه اول( پس از ویرایش )

 

سر فصل ها

توابع با تغییرات کراندار
1. انتگرال ریمان-اشتیل یس
2. دنباله توابع
3. سری فوریه

توابع با تغییرات کراندار

تعریف۱-۱: یک افراز از  بازه ی عبارتست از تعداد متناهی از نقاط چونکه

تعریف۲-۱: اگر یک افراز از بازه باشد ، هر بازه ی را یک زیر بازه از افراز P گوییم.

 تعریف۳-۱: اگر  افرازی از بازه ی باشد ، آنگاه نرم P را با ||P|| نشان می دهیم و عبارتست از

                                               

تعریف۴-۱: فرض کنیم یک تابع باشد.در این صورت، برای هر افراز از ، تعریف می کنیم

                                                        

مثال۱-۱: اگر افرازی از باشد و اگر   

آنگاه 

و

          

تعریف ۵-۱:  تابع را بر با تغییرات کراندار نامیم هرگاه بتوان عددی مانند M به گونه ای یافت که به ازای هر افراز P از داشته باشیم

                                                 

قضیه۱-۱: هر تابع یکنوا بر بازه با تغییرات کراندار است .

برهان :فرض کنیم f بر بازه صعودی باشد، در این صورت قرار می دهیم

 

برای هر افراز از داریم

لذا f با تغییرات کراندار است. در صورتی که f نزولی باشد، با برهانی مشابه، نتیجه مطلوب حاصل خواهد شد.ð

قضیه۲-۱: هر تابع با تغییرات کراندار بر ، بر این بازه کراندار است .

برهان: فرض کنیم f بر با تغییرات کراندار باشد و M>0 چنان باشد که به ازای هر افراز P از

 

 در این صورت اگر دلخواه باشد، افراز را در نظر بگیرید. در این صورت داریم

از طرفی داریم

یعنی f کراندار است. ð

نتیجه۱-۱: اگر f بر بازه ای با تغییرات کراندار باشد، بر این بازه، کراندار است . اما در حالت کلی عکس این مطلب درست نیست . یعنی ممکن است تابعی کراندار باشد ولی با تغییرات کراندار نباشد.

مثال۲-۱:  فرض کنیم  در این صورت f بر هر بازه مخصوصاً [1 ، 0] کراندار است. در این صورت برای هر عدد طبیعی M ، افراز  که در آن  در این صورت

                      

 نشان می دهد که f با تغییرات کراندار نیست.

قضیه ۳-۱: اگربر بازه دارای مشتق کراندار باشد، آنگاه f بر با تغییرات کراندار است.

برهان: فرض کنید

قرار می دهیم  .در این صورت برای هر افراز از بازه داریم 

                                            

بنابر قضیه مقدار میانگین

                            

در نتیجه

                  

لذا

   

 و برهان کامل است.ð

نتیجه ۲-۱ : هر چند جمله ای، بر هر بازه با تغییرات کراندار است .