آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۹ ( ویرایش شده )

فصل سوم

دنباله و سری توابع

تعریف 1-3 ( همگرایی نقطه به نقطه : pointwise convergence ) : دنباله از توابع بر را نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند گوییم هرگاه

یا به عبارت دیگر گوییم دنباله نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند هرگاه 

تعریف 2-3 ( همگرایی یکنواخت « uniform convergence » ) : دنباله از توابع بر را همگرای یکنواخت به تابعی مانند گوییم هرگاه به ازای تمام xهای عضو E داشته باشیم

قضیه 1-3 « شرط کشی « Cauchy condition  » برای همگرایی یکنواخت دنباله ای از توابع » :

دنباله از توابع بر به طور یکنواخت همگراست اگر و تنها اگر

برهان: ابتدا انگار دنباله بر E به طور یکنواخت همگرا به تابعی مانند  باشد ، طبق تعریف همگرایی یکنواخت داریم

از طرف دیگر طبق نامساوی مثلث داریم

بنابراین

پس در شرط کشی صدق می کند. حال اگر در شرط کشی برصدق کند. چون R  فشرده است و  دنباله ای در Rاست که در شرط کشی صدق می کند، بنابراین در R همگراست. پس

نشان می دهیم این همگرایی یکنواخت است . با توجه به شرط کشی داریم

و با توجه به همگرایی داریم پس

بنابراین بر E همگرایی یکنواخت است.€

قضیه 2-3 « آزمون وایراشتراس « weierstrass test » برای همگرایی دنباله توابع » : اگر دنباله  از توابع بر E به طور نقطه به نقطه همگرا به تابع  باشد و

در این صورت دنباله به طور یکنواخت به همگراست اگر و تنها اگر  یا  

برهان: ابتدا اگر همگرای یکنواخت به بر E باشد ، برای 

داده شده ، داریم

حال اگر  داریم

در نتیجه

برعکس اگردر این صورت به ازای داده شده ، داریم

بنابراینبه طور یکنواخت به همگراست.€

قضیه 3-3 : اگرهمگرای یکنواخت به f برE باشد و( a  نقطه ی حدی E باشد) اگر به ازای هر n  داشته باشیم  آنگاه   یا به عبارت دیگر

برهان: چون همگرای  یکنواخت به f است لذا برای هرداده شده ، داریم

حال چون به ازای هر n ، ، پس به ازای ثابت داریم

پس به ازایداریم

یعنی

. €