آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۲ ( پس از ویرایش)

 تعریف ۶-۱ : فرض کنیم با تغییرات کراندار باشد. در این صورت بنا بر تعریف اگر P یک افراز بر باشد آنگاه از بالا کراندار است. لذا دارای سوپریمم است . سوپریمم مجموعه فوق را تغییر کل تابع f از a تا b می نامیم و می نویسیم

یعنی

قضیه ۴-۱: فرض کنیم f و g  بر بازه با تغییرات کراندار باشد . در این صورت  f+g  و f-g و f.g  نیز بر با تغییرات کراندارند و داریم

که در آن

برهان : فرض کنیم  افرازی از بازه ی باشد،

و لذا 

یعنی  بر بازه با تغییرات کراندار است.

برای افراز فوق

زیرا

و به این ترتیب برهان قضیه کامل می شود.ð

قضیه ۴-۱ : فرض کنیم f  بر بازه با تغییرات کراندار باشد و عدد m>0  موجود باشد به طوری که   آنگاه  بر بازه با تغییرات کراندار است و

برهان :

 فرض کنیم افرازی دلخواه از بازه ی باشد، داریم

و این نتیجه ی مطلوب است .ð

قضیه ۵-۱: فرض کنیم f  بر بازه  با تغییرات ِ کران دار است. در این صورت  f  بر[a,c]  و    [c,b] ( که c بین a وb است) با تغییرات کراندار است و

برهان : اگر P₁ افرازی ازو P₂  افرازی از باشد ، آنگاه   افرازی از بازه ی  است و 

پس 

   

در نتیجه f بر بازه های و با تغییرات کراندار است و

  ( ۱)

بر عکس  فرض کنیم P  افرازی ازباشد ، قرار می دهیم و و در این صورت 

 

واز طرفی چون افراز Pّ  ظریف تر از افراز P است داریم:

لذا

( ۲)

روابط ( 1 ) و( 2 ) ما را به پایان برهان می رساند. 

تعریف ۷-۱ : فرض کنیم f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، برای هر تعریف می کنیم

 

بنابر قضیه قبل، این تعریف با معناست و اگر  آنگاه

 

پس V بر بازه ی صعودی است.

قضیه ۶-۱ : f  بر بازه ی با تغییرات کراندار است اگر و فقط اگر بتوان آن را به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت.

برهان: اگر f  را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، آنگاه چون توابع یکنوا بر بازه های بسته، باتغییرات کراندارند، لذا f  با تغییرات کراندار است.

برعکس اگر f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه قرار می دهیم  . دیدیم که V_f  صعودی است .

اگر آنگاه داریم 

 

لذا تابع  صعودی است و برهان کامل است.ð

مثال۳-۱ : تابع  بر بازه با تغییرات کراندار است و تابع  نیزبر بازه با تغییرات کراندار است.

نکته۱-۱ : مثال فوق نشان می دهد که نمایش ِ تابع با تغییرات کراندار، به صورت تفاضل دو تابع صعودی منحصر به فرد نیست .