آنالیز ریاضی۲ جلسه سوم ( پس از ویرایش )

چشم انداز: حال که با مفهوم توابع با تغییرات کراندار آشنا شدیم ، می خواهیم بدانیم که آیا همه توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند؟ یا حتی اگر f  با تغییرات کراندار باشد ، چه رابطه ای بین پیوستگی f و V_f  بر بازه های بسته وجود دارد ؟ و در پایان این بخش به محاسبه ی V_f  از روی تابع f می پردازیم.

مثال زیر در پاسخ به این سوال که آیا تمام توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند، به ما کمک می کند.

مثال ۴-۱ : اگر  تابعی پیوسته با ضابطه ی زیر باشد

 

به ازای هرعدد طبیعی n  می توان افرازهای P_n  را به صورت زیر در نظر گرفت

 

در این صورت خواهیم داشت

 

حال چون سری واگراست لذا سوپریمم ها به ازای  وجود ندارد و از طرفی طبق رابطه ی زیر

 

نتیجه می گیریم که f  بر بازه ی  با تغییرات کراندار نیست.

این مثال نشان داد که توابع پیوسته ای بر بازه های بسته وجود دارند که با تغییرات کراندار نیستند.

در قضیه زیر رابطه ی بین پیوستگی یک تابع با تغییرات کراندار بر[a,b]  را با پیوستگی تابع تغییرات کل آن روی همان بازه بررسی می کنیم.

قضیه ۷-۱ : اگر f  بر بازه ی  [a,b]  با تغییرات کراندار باشد ، در این صورت f  بر هرپیوسته است اگر و فقط اگر V_f  بر این نقطه پیوسته باشد.

 برهان : ابتدا فرض کنیم  V_f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست که

 

با توجه به بحث های قبلی داریم

 

این رابطه نشان می دهد که f  بر هر پیوسته است .

بر عکس فرض کنیم  f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست به طوری که برای هر  و داریم

 

همچنین افراز  ( با فرض ) وجود دارد به طوری که

           ( ۱)  

در افراز فوق می توان فرض کرد  زیرا حتی اضافه کردن چنین x₁ ی به افراز P₁ ، از مجموع آن چیزی نمی کاهد . بنابراین داریم

 

از طرفی داریم

   ( ۲)

با تلفیق روابط (1) و (2) داریم

 

یعنی

 

از طرفی داریم

 

بنابر این نتیجه می شود که اگر  آنگاه

 

لذا V_f  در نقطه ی از طرف راست پیوسته است . به طور مشابه می توان ثابت کرد که V_f در نقطه ی از طرف چپ پیوسته است . بنابراین V_f به ازای هرپیوسته است. این پایان برهان خواهد بود   .ð

برای ادامه بحث به چند تعریف نیازمندیم :

تعریف ۸-۱: نگاشت پیوسته f از [a,b]  به R را یک منحنی در R  گوییم . همچنین اگر f یک به یک باشد، آن را کمان یا قوس گوییم.

تعریف ۹-۱: منحنی f که بر بازه ی  [a,b]  تعریف شده را طول پذیر گوییم هرگاه f بر این بازه با تغییرات کراندار باشد.

یاد آوری :

 

قضیه زیر ما را در محاسبه تغییرات کل تابع در بازه ی  [a,b]  یاری می کند.

قضیه ۸-۱: اگر 'f  بر بازه ی  [a,b]  یک منحنی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نیزبر این بازه، یک منحنی با تغییرات کراندار است و داریم

 

برهان : برای هر افراز از بازه  [a,b]  داریم

 

یعنی

          (*)

این نشان می دهد که منحنی f بر  [a,b]  با تغییرات کراندار است.

از طرفی پیوستگی 'f  بر بازه [a,b] ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه نتیجه می دهد ، بنابراین

 

بنابراین با فرض ||P||<d  برای هر داریم

 

بنابراین اگر داریم

 

از طرفی

 

بنابراین

 

با جمع بندی رابطه ی اخیر برای i=1,2,…,n داریم

 

یعنی

   

برای هر e>0 دلخواه. بنابراین

          (**)

با توجه به روابط (*) و(**) برهان کامل می باشد .ð

با این قضیه به پایان مبحث توابع با تغییرات کراندار رسیدیم. جلسات آینده ، مبحث انتگرال ریمان-اشتیل یس را شروع می کنیم .