آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت ۱ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز: ابتدا انتگرال ریمان-اشتیل یس را تعریف کرده ، سپس با ذکر چند مثال مطلب را روشن می کنیم. پس از آن رابطه ی بین دو تابع انتگرال پذیر f و g  بر یک بازه ی بسته مشترک و مجموع آن ها را بررسی کرده و سرانجام خواهیم دید که اگر تابعی بر بازه ی بسته ای دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد ، بر هر زیر بازه ی بسته ی آن نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل خواهد بود. پس....

تعریف۱۰-۲: اگر f و a روی بازه ی  تعریف شده  و کراندار باشند و  افرازی از آن بازه باشد،

 

در این صورت برای هر  مجموع ریمان-اشتیل یس تابع  f  نسبت به a  را بر بازه ی به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

تعریف2-2: گوییم تابع f  نسبت به a بر بازه ی دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است و می نویسیم بر بازه ی هرگاه عددی مانند A موجود باشد به طوری که برای هر e<0 ، افرازی مانند   موجود باشد که برای هر افراز ِ P  که ظریفتر ازباشد، داشته باشیم

 

چنین Aیی در صورت وجود یکتاست و با نماد نشان می دهیم. f  را تابع انتگرالده و a را تابع انتگرال گیر می نامند.

مثال۱-۲: فرض کنید و تابع f  بر بازه ی  به صورت زیر تعریف شده باشد

 

در این صورت با فرض A=1 و اگر انتخاب شود داریم

 

همچنین در این حالت اگر P افرازی ظریفتر از با شرط  باشد خواهیم داشت

 

بنابراین

 

و بعلاوه اگرباشد داریم

یعنی

پس . یعنی f نسبت به a بر بازه ی [0,1] دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهد بود و. 

مثال 2-2 : اگر  و بر بازه ی  باشند. فرض کنیم، در این صورت برای هر افراز افراز را می سازیم .( افرازP ظریفتر ازاست). اگر فرض کنیم داریم

لذا برای هر عدد حقیقی A نمی توان دو رابطه ی  و را داشت زیرا در این صورت

 

یعنی 2<1 که تناقض آشکاریست. پس افراز P ظریفتر از هست که

 

پس بر بازه ی  .

مثال ۳-۲:  و  در این صورت بر بازه ی [0,1] . زیرا با فرض A=1 ، برای هر e>0 ، را افرازی دلخواه از [0,1] می گیریم . اگر P افرازی ظریفتر از بر بازه ی [0,1] باشد، داریم

 

ولذا

 

پس   و.

ادامه دارد.....