آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت۲( پس از ویرایش )

قضیه ۱-۲: اگر و بر بازه ی بسته [a,b] آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی و متناهی c و d  داریم بر بازه ی بسته [a,b]   و

 

برهان : فرض کنیم  h = cf + dg   . به ازای یک افراز مفروض از بازه ی بسته [a,b] مانند P می توان نوشت

 

اکنون اگر e>0 داده شده باشد، را طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نا مساوی ِرا ایجاب کند. همچنینرا طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نامساوی بر قرار باشد . اگر، به ازای هر افراز ِ ظریفتر از  مانند P داریم

 

از آنجا که c و d اعداد حقیقی متناهی اند و روابط فوق به ازای هر e>0 برقرار اند ، لذاو

 

و این پایان برهان است.ð

مشابه قضیه فوق (قضیه ۱-۲) که برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالده روی یک انتگرالگیر و بازه ی بسته مشترک بیان شد، می توان برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالگیر با انتگرالده و بازه ی بسته مشترک بیان و اثبات کرد. ما این قضیه را بیان کرده و از ذکر اثبات آن خودداری می کنیم .

قضیه 2-2: هرگاه وبر بازه ی [a,b]، آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی متناهی ِ c و d داریم

بر بازه ی [a,b]  و .

قضیه زیر به این مطلب اشاره دارد که اگر تابع f بر بازه ای بسته نسبت به a دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد، برهر زیر بازه ی بسته ی آن  نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است.

قضیه ۳-۲ : فرض کنیم ، اگر دو انتگرال از سه انتگرال زیر موجود باشند، آنگاه انتگرال سوم نیز موجود خواهد بود و

 

برهان :  فرض کنیم بر بازه های و  و e>0 داده شده باشد . افراز ، از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₁  داریم

 

و همچنین افرازی مانند از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₂ داریم

 

اکنون افرازی از[a,b]  خواهد بود . اگرP افرازی از[a,b]  به طوری که از ظریفتر باشد، افرازهای

  و

به ترتیب از افرازهای و ظریفتر خواهند بود. داریم

 

از طرفی

 

پس  بنابر تعریف بر [a,b]  و . به این ترتیب برهان این قضیه نیز کامل می شود. ð