آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۵ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز : در این جلسه دو قضیه را اثبات خواهیم کرد که نخستین آن به انتگرال گیری به روش جزء به جزء شهرت دارد و دیگری تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس را بیان می کند.

ابتدا با توجه به بحث جلسه قبل ، تعریف زیر را ارائه می دهیم.

تعریف : اگر  وجود داشته باشد، تعریف می کنیم

 

و همچنین

 

قضیه ۴-۲: (انتگرال گیری به روش جزء به جزء) اگر بر بازه ی ، آنگاه بر و داریم

 

برهان: فرض کنیم e>0 داده شده باشد، از آن جا که  وجود دارد لذا افرازی مانند  موجود است که به ازای هر افراز ظریفتر از آن مانند 'P  ، داریم

 (*)

مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع  a نسبت به f بر بازه ی برای هر افراز دلخواه P، ظریفتر ازتشکیل می دهیم

   (1)

قرار می دهیم

 

داریم

  (2)

در این صورت از تفاضل روابط (1) و (2) دایم

 

اگر را افرازی از بگیریم که شامل تمام x_k ها وt_k ها باشد ، طرف راست تساوی فوق را می توان به صورت یک حاصل جمع به شکل ، نوشت. یعنی

 

در این صورت ، از P ظریفتر است و لذا از نیز ظریفتر خواهد بود. بنابراین نامساوی (*) برقرار خواهد بود و داریم

 

یعنی

 

باجایگزینی مقدار A داریم

 

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

قضیه ۵-۲ :(­­­ تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس )

فرض کنیم بر و g تابعی پیوسته و یکنوای اکید باشد که بر بازه ی I  با نقاط انتهایی ِ c و d تعریف شده باشد و داشته باشیم و . فرض کنیم h و b توابعی مرکب با ضوابط زیر باشند

  و

در این صورت   بر بازه ی I و داریم

 

برهان: فرض کنیم g بر بازه ی I  اکیداً صعودی و پیوسته باشد. پس یک به یک است . بنابراین

 

و تابع g^-1  نیز بر بازه ی اکیداً صعودی و پیوسته است. با این شرایط ، متناظر با هر افراز  از [ c.d] ، یک و تنها یک افراز ِ از [a,b]  وجود دارد که

 

به عبارت دیگر می توان نوشت

 

همچنین متناظر با هر تظریف ِ P ، یک تظریف   وجود دارد و بر عکس. حال فرض کنیم e>0 داده شده باشد. چون بنابراین افراز  از وجود دارد که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مثل داریم

 

متناظر با ، افراز  را بر [ c,d ] داریم. فرض کنیم افرازی بر [c,d] باشد که از ظریفتر باشد. مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع  h نسبت به b بر بازه ی [c,d] به ازای  و تشکیل می دهیم

 

حال اگر قرار دهیم

  و

به افراز ِ از  می رسبم که ظریفتر از   است. با توجه به تعاریف h وb داریم

 

که

 

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

تا جلسه بعد....