آنالیز ریاضی۲ جلسه سوم ( پس از ویرایش )

چشم انداز: حال که با مفهوم توابع با تغییرات کراندار آشنا شدیم ، می خواهیم بدانیم که آیا همه توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند؟ یا حتی اگر f  با تغییرات کراندار باشد ، چه رابطه ای بین پیوستگی f و V_f  بر بازه های بسته وجود دارد ؟ و در پایان این بخش به محاسبه ی V_f  از روی تابع f می پردازیم.

مثال زیر در پاسخ به این سوال که آیا تمام توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند، به ما کمک می کند.

مثال ۴-۱ : اگر  تابعی پیوسته با ضابطه ی زیر باشد

 

به ازای هرعدد طبیعی n  می توان افرازهای P_n  را به صورت زیر در نظر گرفت

 

در این صورت خواهیم داشت

 

حال چون سری واگراست لذا سوپریمم ها به ازای  وجود ندارد و از طرفی طبق رابطه ی زیر

 

نتیجه می گیریم که f  بر بازه ی  با تغییرات کراندار نیست.

این مثال نشان داد که توابع پیوسته ای بر بازه های بسته وجود دارند که با تغییرات کراندار نیستند.

در قضیه زیر رابطه ی بین پیوستگی یک تابع با تغییرات کراندار بر[a,b]  را با پیوستگی تابع تغییرات کل آن روی همان بازه بررسی می کنیم.

قضیه ۷-۱ : اگر f  بر بازه ی  [a,b]  با تغییرات کراندار باشد ، در این صورت f  بر هرپیوسته است اگر و فقط اگر V_f  بر این نقطه پیوسته باشد.

 برهان : ابتدا فرض کنیم  V_f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست که

 

با توجه به بحث های قبلی داریم

 

این رابطه نشان می دهد که f  بر هر پیوسته است .

بر عکس فرض کنیم  f  در هر نقطه ی پیوسته باشد.  پس برای هر e>0 ، d>0ی هست به طوری که برای هر  و داریم

 

همچنین افراز  ( با فرض ) وجود دارد به طوری که

           ( ۱)  

در افراز فوق می توان فرض کرد  زیرا حتی اضافه کردن چنین x₁ ی به افراز P₁ ، از مجموع آن چیزی نمی کاهد . بنابراین داریم

 

از طرفی داریم

   ( ۲)

با تلفیق روابط (1) و (2) داریم

 

یعنی

 

از طرفی داریم

 

بنابر این نتیجه می شود که اگر  آنگاه

 

لذا V_f  در نقطه ی از طرف راست پیوسته است . به طور مشابه می توان ثابت کرد که V_f در نقطه ی از طرف چپ پیوسته است . بنابراین V_f به ازای هرپیوسته است. این پایان برهان خواهد بود   .ð

برای ادامه بحث به چند تعریف نیازمندیم :

تعریف ۸-۱: نگاشت پیوسته f از [a,b]  به R را یک منحنی در R  گوییم . همچنین اگر f یک به یک باشد، آن را کمان یا قوس گوییم.

تعریف ۹-۱: منحنی f که بر بازه ی  [a,b]  تعریف شده را طول پذیر گوییم هرگاه f بر این بازه با تغییرات کراندار باشد.

یاد آوری :

 

قضیه زیر ما را در محاسبه تغییرات کل تابع در بازه ی  [a,b]  یاری می کند.

قضیه ۸-۱: اگر 'f  بر بازه ی  [a,b]  یک منحنی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نیزبر این بازه، یک منحنی با تغییرات کراندار است و داریم

 

برهان : برای هر افراز از بازه  [a,b]  داریم

 

یعنی

          (*)

این نشان می دهد که منحنی f بر  [a,b]  با تغییرات کراندار است.

از طرفی پیوستگی 'f  بر بازه [a,b] ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه نتیجه می دهد ، بنابراین

 

بنابراین با فرض ||P||<d  برای هر داریم

 

بنابراین اگر داریم

 

از طرفی

 

بنابراین

 

با جمع بندی رابطه ی اخیر برای i=1,2,…,n داریم

 

یعنی

   

برای هر e>0 دلخواه. بنابراین

          (**)

با توجه به روابط (*) و(**) برهان کامل می باشد .ð

با این قضیه به پایان مبحث توابع با تغییرات کراندار رسیدیم. جلسات آینده ، مبحث انتگرال ریمان-اشتیل یس را شروع می کنیم .

مسابقه انتخابی المپیاد

مرحله اول مسابقات ریاضی دانشجویی

« دانشگاه فردوسی مشهد»

27/11/1384

۱. گروه G دقیقا ً ذارای سه زیر گروه است اگر و فقط اگر دوری از مرتبه p²  باشد.( p عددی اول است)

۲. فرض کنید

یک دنباله دقیق از فضاهای برداری با بعد متناهی و تبدیلات خطی باشد. ثابت کنید

dimA + dimC =dimB + dimD

۳. فرض کنیم ||.|| تابعی روی فضای برداری X باشد که تمام خواص نرم به جز نامساوی مثلث را دارد و به جای نامساوی مثلث ، نامساوی متوازی الاضلاع را به شکل زیر داریم

 

ثابت کنید  یک فضای نرم دار است.

۴. در یک گراف مانند یک زیر مجموعه از رئوس مانندD را مسلط نامیم هر گاه به ازای هررأسی مانند

و یالی مانند موجود باشد . Dرا قویا ً مسلط می نامیم هر گاه برای هر، این شرط برقرار باشد. درجه ( قویا ً) تسلطی Dرا مینیمم مقدار |D|که در آن، مجموعه v(G ( قویا ً ) مسلط است، تعریف و با نماد نشان داده می شود. ثابت کنید

 

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۲ ( پس از ویرایش)

 تعریف ۶-۱ : فرض کنیم با تغییرات کراندار باشد. در این صورت بنا بر تعریف اگر P یک افراز بر باشد آنگاه از بالا کراندار است. لذا دارای سوپریمم است . سوپریمم مجموعه فوق را تغییر کل تابع f از a تا b می نامیم و می نویسیم

یعنی

قضیه ۴-۱: فرض کنیم f و g  بر بازه با تغییرات کراندار باشد . در این صورت  f+g  و f-g و f.g  نیز بر با تغییرات کراندارند و داریم

که در آن

برهان : فرض کنیم  افرازی از بازه ی باشد،

و لذا 

یعنی  بر بازه با تغییرات کراندار است.

برای افراز فوق

زیرا

و به این ترتیب برهان قضیه کامل می شود.ð

قضیه ۴-۱ : فرض کنیم f  بر بازه با تغییرات کراندار باشد و عدد m>0  موجود باشد به طوری که   آنگاه  بر بازه با تغییرات کراندار است و

برهان :

 فرض کنیم افرازی دلخواه از بازه ی باشد، داریم

و این نتیجه ی مطلوب است .ð

قضیه ۵-۱: فرض کنیم f  بر بازه  با تغییرات ِ کران دار است. در این صورت  f  بر[a,c]  و    [c,b] ( که c بین a وb است) با تغییرات کراندار است و

برهان : اگر P₁ افرازی ازو P₂  افرازی از باشد ، آنگاه   افرازی از بازه ی  است و 

پس 

   

در نتیجه f بر بازه های و با تغییرات کراندار است و

  ( ۱)

بر عکس  فرض کنیم P  افرازی ازباشد ، قرار می دهیم و و در این صورت 

 

واز طرفی چون افراز Pّ  ظریف تر از افراز P است داریم:

لذا

( ۲)

روابط ( 1 ) و( 2 ) ما را به پایان برهان می رساند. 

تعریف ۷-۱ : فرض کنیم f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، برای هر تعریف می کنیم

 

بنابر قضیه قبل، این تعریف با معناست و اگر  آنگاه

 

پس V بر بازه ی صعودی است.

قضیه ۶-۱ : f  بر بازه ی با تغییرات کراندار است اگر و فقط اگر بتوان آن را به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت.

برهان: اگر f  را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، آنگاه چون توابع یکنوا بر بازه های بسته، باتغییرات کراندارند، لذا f  با تغییرات کراندار است.

برعکس اگر f  بر بازه ی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه قرار می دهیم  . دیدیم که V_f  صعودی است .

اگر آنگاه داریم 

 

لذا تابع  صعودی است و برهان کامل است.ð

مثال۳-۱ : تابع  بر بازه با تغییرات کراندار است و تابع  نیزبر بازه با تغییرات کراندار است.

نکته۱-۱ : مثال فوق نشان می دهد که نمایش ِ تابع با تغییرات کراندار، به صورت تفاضل دو تابع صعودی منحصر به فرد نیست .