آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت اول( پس از ویرایش)

برای دسترسی ساده تر به مطالب ، آن ها را در صفحات با حجم کم عرضه می کنیم.

در این جلسه خواهیم دید که انتگرال ریمان ، حالت خاصی از انتگرال ریمان-اشتیل یس است

قضیه 2-6: فرض کنیم بر بازه ی و همچنین بر این بازه پبوسته باشد. انتگرال ریمان وجود دارد و داریم

برهان : فرض کنیم  اگر P افرازی از  باشد ، مجموع ریمان زیر را تشکیل می دهیم

با همان افراز P و همان انتخاب از ها ، مجموع ریمان-اشتیل یس f نسبت به a را تشکیل می دهیم

با استفاده از قضیه مقدار میانگین برای هر ؛ وجود دارد که    .

بنابراین

از آنجا که f کراندار است، پس M>0 هست که برای هرx  از بازه ی داشته باشیم . پیوستگی بر بازه ی ، پیوستگی ِ یکنواخت آن را نتیجه می دهد. پس اگر داده شده باشد ، ی هست که فقط به بستگی دارد و

               (1)

می توان افرازرا از  طوری اختیار کرد که . در این صورت برای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

               (2)

بنابراین برای  افراز ِ P، طبق روابط (1) و (2) داریم

و از آن جا که بر ، پس افرازی مانند هست که به ازای هر افراز ِ P ظریفتر از آن

اگر افراز را بر  اختیار کنیم ، به ازای هر افرازP که ظریفتر از آن باشد ، تمامی روابط بالا برقرار خواهند بود . طبق نامساوی مثلث داریم

و این پایان خوش برهان خواهد بود.