آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت۲ ( پس از ویرایش)

تعریف ۱: تابع a را بر یک تابع پله ای در نقطه ی نامیم اگر به صورت زیر باشد

یعنی تابع a در نقاط غیر ازc تابع ثابت باشد.

تذکر : اگر a در c پله ای باشد ،

و

مثال1 : تابع زیر دریک تابع پله ای است .

قضیه 2-7: اگر a در نقطه c  بر پله ای و f تابعی بر باشد که f و a هر دو از یک طرف در c ناپیوسته نباشند، آنگاه  بر و

برهان : فرض کنیمافرازی از   شاملباشد . در این صورت

بنابراین اگر a در c پیوسته باشد آنگاه برای افراز P ، داریم 

و لذا

 

اگر a در  نا پیوسته باشد

 

بنابراین

 

حال اگر f درc پیوسته باشد وe<0  داده شده باشد، آنگاه d<0  هست که

 

که

 

در این حالت اگر افراز را چنان بگیریم که و  و  به ازای هرخواهیم داشت

   (1) 

یعنی در صورتی که f درc پیوسته و a در c پله ای باشد ، انتگرال فوق وجود دارد. اما اگر f در c ، از راست پیوسته و a در c از چپ پیوسته باشد ، یعنی

 

اگر  e<0 داده شده باشد، d<0 هست که

 

در این حالت کافی است  را افرازی بگیریم که و بنابراین

 

که با جایگزینی این مقدار در نامساوی (1) روابط همچنان درستی خواهیم داشت. یعنی اگرf در c ، از راست وa درc از چپ پیوسته باشد ، انتگرال بالا موجود و قضیه برقرار خواهد بود. و سر انجام در حالتی که f در c ، از چپ وa در c از راست پیوسته باشد ، یعنی

 

اگر e<0 داده شده باشد ، d<0 هست که

 

در این حالت  نیز کافی است  را افرازی بگیریم که و بنابراین

 

که با جایگزاری آن در نامساوی (1) برهان کامل می شود.

مثال: اگرو تابع f  با دامنه R در نقاط صحیح از چپ پیوسته باشد، آنگاه برای هر عدد طبیعی n ، موجود و برابر است با

توجه : مثال و قضیه بالا نشان می دهند که شرط پیوستگی برای انتگرال پذیری ، شرط لازم نیست. یعنی توابعی موجودند که ناپیوسته و انتگرال پذیرند.

در ادامه شکل کلی تابع پله ای را تعریف کرده و چگونگی تحویل انتگرال ریمان-اشتیل یس را به مجموع متناهی و بر عکس را در دو قضیه مجزا بیان می کنیم.

تعریف2: ( تعمیم تابع پله ای ) تابع a با دامنه ی را یک تابع پله ای گوییم در صورتی که افرازی از  مانند

 

وجود داشته باشد به گونه ای که a بر هر زیر بازه ی باز ِ که  دارای مقدار ثابت باشد.

تعریف 3: به ازای k=1 ، جهش در نقطه ی   را برابر با تفاضل  و برای k= n ، جهش در نقطه ی   را برابر با تفاضل  و در دیگر x_k ها( یعنی ) برابر با تفاضل  تعریف می شود.

قضیه 2-8: فرض کنیم a بر تابع پله ای با نقاط افراز ِ  باشد و در نقطه ی x_k ، دارای جهش باشد وf نیز بر طوری  تعریف شده باشد که f و a در هر x_k هر دو همزمان از چپ یا از راست ناپیوسته نباشند. در این صورت  وجود دارد و داریم

 

برهان : طبق خواص انتگرال می توان نوشت

 

حال قضیه 7-2 را برای هر یک از انتگرال های طرف راست ِ تساوی بالا بکار می بریم . خواهیم داشت

 

پس برهان تمام است.

قضیه 2-9: هر مجموع متناهی را می توان به صورت انتگرال ریمان-اشتیل یس در آورد.

برهان: فرض کنیم  یک مجموع متناهی باشد. تابع  f  را بر بازه ی  به صورت و اگر  و  آنگاه 

تعریف می کنیم. در این صورت با در نظر گرفتن  بر این بازه خواهیم داشت

 

که ، جهش تابع a در نقطه x_k  است . چون این جهش برای تابع جزء صحیح برابر 1 واحد است و تابعf در نقاط x_k از راست و تابع جزء صحیح از چپ ناپیوسته اند ، طبق قضیه پیشین داریم

 

این پایان برهان است.

به این ترتیب به پایان این جلسه می رسیم.