آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت اول(پس از ویرایش)

با قضیه  زیر به این امکان می رسیم که مقدار یک انتگرال بر بازه ی بسته را به مجموع مقدار های این تابع درعدد های صحیح ِ این بازه مربوط کنیم که دارای این مزیت است که گاهی می توان یک انتگرال را به یک مجموع نزدیک کرد و یا یک مجموع را با یک انتگرال تخمین زد. این قضیه به قضیه جمع بندی اویلر معروف است.

قضیه ۲-۱۰: ( قضیه جمعبندی اویلر )

اگر f بر مشتق پیوسته داشته باشد و

که در آن [x] ، تابع جزء صحیح است ؛ آنگاه

برهان : با استفاده از قضیه انتگرال گیری جزء به جزء داریم

  ( ۱)

همچنین با توجه به مثال جلسه قبل داریم :

    ( ۲)

و همچنین طبق خواص انتگرال داریم

  ( ۳)

حال از روابط ( ۱) و ( ۲) و ( ۳) خواهیم داشت

به این ترتیب حکم برقرار است.

اکنون می خواهیم در مورد انتگرال گیر های صعودی بحث کنیم. وقتی a صعودی باشد ، ها همگی نامنفی اند.

تعریف : فرض کنیم P یک افراز از باشد ،

را مجموع اشتیل یس  پایینی و

را مجموع اشتیل یس بالایی ِ تابع f نسبت به a برنامیده می شود که در آن

و

یاد آوری :  همواره

، هرگاه a بر صعودی باشد ، آنگاه  و بنابراین

از طرفی به ازای هرداریم

بنابراین

یعنی