آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۷ قسمت دوم( پس از ویرایش)

قضیه 2-11: انگار a بر صعودی باشد ، در این صورت

۱. اگر از P ظریفتر باشد آنگاه

     و    

۲. به ازای هر دو افراز P₁ و P₂  داریم

 

برهان : 1. اگر افرازP به صورت  داده شده باشد، کافی است افراز  که  را در نظر  بگیریم. یعنی اگر مجموع بالایی اشتیل یس برای افراز را تشکیل دهیم

 

که در آن  و به ترتیب سوپریمم های تابع f  بر بازه های  و گزینش شده اند. چون  و  پس

 

از طرفی برای افرازهای فوق اگربه ترتیب اینفیمم تابع f  بر بازه های  و باشد داریم  و  و لذا

 

۲. با افرازهای P₁ و P₂ داده شده  افراز جدید  را می سازیم. در این صورت با توجه به رابطه زیر ، حکم قضیه برقرار است

 

.  

نتیجه : با توجه به قضیه 2-11 ، اگر a بر  صعودی باشد و m  وM به ترتیب اینفیمم و سوپریمم f بر باشند ، برای هر افراز P₁ و P₂  رابطه زیر برقرار است

 

با توجه به مجموع پایینی و بالایی اشتیل یس ِ تابع f نسبت به a بر می توان تعریف زیر را ارائه داد.

تعریف : انگار a بر صعودی باشد ، انتگرال اشتیل یس بالایی f  نسبت به a بر عبارت است از

 

همچنین انتگرال اشتیل یس پایینی f نسبت به a بر عبارت است از

 

همچنین اگر باشد، آنگاه انتگرال های بالا را به ترتیب به صورت  و  

خواهد بود که آنها را انتگرال بالایی و پایینی ریمان گویند.

به راحتی می توان دید که

 

کنجکاویم بدانیم که اگر انتگرال های بالایی و پایینی با هم برابر باشند، می توان مجموع های بالایی و پایینی را هم به اندازه دلخواه به هم نزدیک کرد یا نه. در شرط ریمان این نکته را می یابیم.

شرط ریمان : گوییم f در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند در صورتی که به ازای هر e>0، افرازی مانند باشد به قسمی که هرگاه P  از ظریفتر باشد، آنگاه