آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۸ قسمت ۱ (پس از ویرایش )

قضیه 2-12: انگار a بر  صعودی باشد، در این صورت سه گزاره ی زیر هم ارزند.

۱. بر .

۲. f  در شرط ریمان بر حسب a برصدق می کند.

۳.  .

برهان : نشان می دهیم که گزاره ی 2 از 1 و گزاره ی 3 از 2 و گزاره ی 1 از 3 بدست می آید.

انگار گزاره ی 1 برقرار باشد ، یعنی  بر بازه ی ، اگر e>0 داده شده باشد، افرازهای  P₁ و P₂  از وجود دارند که

 

و

 

اگر ، در این صورت با توجه به قضیه قبل داریم

 

که نشان می دهد

 

پس  f  در شرط ریمان بر حسب a بر صدق می کند.

اکنون اگر گزاره ی 2 برقرار باشد و e>0 داده شده باشد، افرازی مانند هست به طوری که به ازای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

 

از این رو داریم

 

پس به ازای هر e>0 داریم

   ( * )

از طرفی می دانیم

  ( ** )

با توجه به ( * ) و ( ** ) داریم

 

سرانجام اگر گزاره ی 3 برقرار باشد نشان می دهیم گزاره ی ۱ برقرار است.

پس انگار

 

نشان می دهیم موجود و برابر با A است.

به ازای e>0 داده شده، طبق تعریف انتگرال بالایی می توان  را طوری برگزید که به ازای هر افرازP ظریفتر از آن داشته باشیم

 

همچنین را طوری برگزید که به ازای هر افرازP ظریفتر از آن داشته باشیم

 

در این صورت با گزینش  به ازای هر افراز ِP ظریفتر ازخواهیم داشت

 

یعنی

 

پس و این پایان برهان است.ÿ

قضیه 2-13: اگر a بر صعودی باشد و  و بر و برای هر داشته باشیم  آنگاه

 

برهان این قضیه به سادگی با استفاده از تعاریف بدست می آید. ÿ

با توجه به این قضیه اگر a بر صعودی و  و  آنگاه

 .

قضیه 2-14: انگار a بر  صعودی و   بر، آنگاه  بر و

 

برهان: با توجه به 

 

و

 

و همچنین رابطه ی

 

خواهیم داشت

(*)     

اگر e>0 داده شده باشد ، چون  ، پس افراز  از موجود است به طوری که به ازای هر  داریم

 

در این صورت طبق نابرابری (*) برای هر افراز  داریم

 

پس در شرط ریمان بر حسب a بر بازه ی صدق می کند و  از طرفی چون 

 

لذا طبق قضیه 2-13 داریم

 

که این پایان برهان خواهد بود.ÿ