آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۸ قسمت ۲ ( پس از ویرایش)

انتگرال گیرهای با تغییر کراندار

توضیح : در فصل 1 دیدیم که هر تابع با تغییر کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت. پس اگر a بر تابعی  با تغییر کراندار باشد، می توان نوشت  که  و  بر صعودی اند. اگر  و  برآنگاه  از ویژگی خطی در می یابیم که بر . اکنون این پرسش مطرح می شود که آیا عکس مطلب همواره برقرار است یا نه؟ یعنی اگر  بر و a را بتوان به صورت تفاضل دو تابع صعودی  و  نوشت، آیا می توان نتیجه گرفت که  و ؟

در پاسخ باید گفت : چون نمایش تابع a  ( a با تغییرات کراندار است ) به صورت تفاضل دو تابع صعودی ، منحصر به فرد نیست، اگر ؛ می توان توابع صعودی   و یی پیدا کرد که هیچ یک از انتگرال های   و موجود نباشد. اما در قضیه زیر ثابت می کنیم که دست کم برای یک نمایش تابع a و آن هم به صورت  انتگرال های فوق موجود خواهند بود.

قضیه 2-15: انگار a  بر با تغییرات کراندار باشد و تابع  تابع تغییر کل تابع  a  بر بازه ی به طوری که  باشد. با این شرایط اگر  بر ، آنگاه بر خواهد بود.

برهان: طبق تعریف V می دانیم  ، اگر V(b) =0  ، پس V  بر تابعی ثابت است و  . اگر  ، چون V صعودی است ، کافی است ثابت کنیم f  در شرط ریمان بر حسب V بر  صدق می کند. اگر و e>0  داده شده باشد ، را به گونه ای اختیار می کنیم که  برای هر افراز  و هر  داشته باشیم

    (۱)

و چون a بر با تغییر کراندار است

     ( ۲)

که M کران بالای  است، یعنی  . با افرازP  فوق شرط ریمان را برای V می نویسیم

 

پس اگر ثابت کنیم

     ( *)

و

     ( ** )

برهان تمام است. برای اثبات (*) ، چون

 

و با توجه به (2) خواهیم داشت

 

و (**) را به  ترتیب زیر اثیات می کنیم . گیریم

 

و

 

و

 

اگر ؛   را طوری اختیار می کنیم که

 

و اگر   ؛    را طوری اختیار می کنیم که

 

در این صورت

 

پس f در شرط ریمان نسبت به V بر صدق می کند و برهان کامل است.