تقدیم به آقای زارعی۲

 ( قضیه 10.6 از کتاب رودین ) : فرض کنیم f بر کراندار بوده و تعداد متناهی نقطه ناپیوستگی بر  داشته باشد و α در هر نقطه ناپیوستگی f پیوسته باشد. در این صورت  بر . 

برهان: فرض کنیم E مجموعه نقاط ناپیوستگی ِ f بر باشد ، پس  و f برپیوسته است. همچنین f بر کراندار است پس می توان فرض کرد  

 

 فشرده است . لذا دارای پوشش باز متناهی است. پس E را نیز می توان با پوششی متناهی پوشاند. از انجا که α بر پیوسته است پس پیوسته یکنواخت است . بنابراین به ازای ε >0 داده شده 

 

چون E متناهی است با توجه به پیوستگی یکنواخت α بر ، می توان E را با بازه های جدا از هم  طوری پوشاند که

 

و حتی می توان این بازه ها را طوری در نظر گرفت که هر نقطه ناپیوستگی ِ f داخل یکی از  ها باشد.

حال اگر بازه های باز  را از برداریم ، یعنی اگر  آنگاه K فشرده است و f بر k پیوسته است لذا پیوسته یکنواخت است. پس به ازای ε >0 فوق ،

 

افراز از را طوری می سازیم که  ولی اگر  آنگاه مثلا ً P  می تواند به صورت زیر باشد

 

(بین u_j و v_j هیچ عضوی وجود ندارد) و اگر   آنگاه و  و  . حال طبق شرط کشی داریم به ازای هر افراز P ظریفتر داریم

 

چون ε دلخواه است پس بر .