قضیه تخمین وایراشتراس

در قسمت ترجمه ، سعی می کنیم جدیدترین مطالب را تهیه و ترجمه کنیم . بدون تردید ، اولویت با متن هایی است که هماهنگی بیشتری با آموزه های پیشین ما داشته باشد. ترجمه ی ما ، ترجمه ی لغت به لغت نیست و سعی می کنیم مفهوم جمله را با زبانی گویا ارائه کنیم.

در نخستین گام ، بنا به درخواست دوست گرامی مان آقای زارعی ، با قضیه تخمین وایراشتراس در خدمتیم. و اما...

قضیه ی تخمین وایراشتراس نشان می دهد که توابع با مقادیر حقیقی روی یک بازه فشرده ، با یک چند جمله ای ، به طور یکنواخت می توان تخمین زد.  به دیگر بیان ، چند جمله ای ها نسبت به نرم-سوپریمم (norm-sup) ، به طور یکنواخت در     چگالند. نخستین اثبات بر قضیه فوقدر سال 1911 ارائه شد که فقط از روش های ابتدایی استفاده می کند و یک الگوریتم صریح برای تخمین یک تابع با استفاده از یک کلاس از جند جمله ای هاست ، امروزه به نام خودش معروف است .

« قضیه تخمین وایراشتراس The Weierstrass Approximation Theorem »   در حقیقت حالت خاصی از یک قضیه اصلی تر ‹‹ استون-وایراشتراس  The Stone-Weierstrass Theorem ›› است که در سال 1937 توسط ‹‹  استون ›› فراهم شده است.

تعریف1-1 : ‹‹ چند جمله ای های برنشتاین Bernstein Polynomials  ›› : برای هر ،  n–مین چند جمله ای برنشتاین از تابع به صورت زیر تعریف می شود

 

 قضیه 1-1 « قضیه تخمین وایراشتراس  (1885) The Weierstrass Approximation Theorem   » : فرض کنیم  . دنباله ای از چندجمله ای ها وجود دارد  به طوری که همگرای یکنواخت به بر است.

برهان: ابتدا فرض کنیم  ، نخست قضیه را در این حالت اثبات می کنیم.  قضیه اصلی با یک تغییر متغیر اثبات خواهد شد.

از آن جا که [0,1] فشرده است، پیوستگی f ، پیوستگی یکنواخت را نتیجه می دهد. بنابر این برای e > ۰ داده شده ، d > ۰ ی هست که

 

حال فرض کنیم  ،  ( )  توجه کنید که M موجود است چون f پیوسته بر یک باره ی فشرده  است .  را ثابت در نظر می گیریم . اگر  ، آنگاه چون f پیوسته است    . متناوباً اگر ، آنگاه

 

حال اگر دو نامساوی بالا را با هم ترکیب کنیم داریم :

 

 چند جمله ای برناشتاین می تواند f را بر [0,1] تخمین بزند. ابتدا ثوجه کنید که

 

و

 

که از قضیه دو جمله ای در تساوی دوم استفاده شده است . بنابراین

 

که در دومین گام از این حقیقت که  برای   و  برای استفاده شده است. هر دوی این گزاره ها را مستقیماْ با استفاده از تعریف می توان اثبات کرد. همچنین می توان نشان داد که

 

بنابراین

 

مخصوصاً

 

با یک محاسبه ساده می توان نشان داد که ماکزیمم تابع z-z²  روی [0,1] ،   می باشد. بنابراین

 

بنابراین با انتخاب ، به ازای هر   داریم  

 که این قضیه را برای توابع پیوسته بر [0,1]  ثابت می کند. حال فرض کنیم فرض کنیم   یک تابع باشد.F یک همسانریختی است. بنابراین تابع مرکب   یک تابع ِ پیوسته بر [0,1] است . با بکار بردن قضیه برای توابع پیوسته بر  [0,1] ، قضیه برای هر بازه ی دلخواه برقرار است.  

به این ترتیب برهان کامل می شود. ƒ

درخواست :

از آنجا که ما هنوز در ابتدای راهیم ، از تمامی اساتید ، ریاضی دانان و دانشجویان ریاضی و هر کسی که دستی در ریاضی دارد خواهشمندیم نظرات و راهنمایی های اصلاحی خود را برای هر چه بهتر شدن  و پربار تر شدن این وبلاگ ، اعلام کنند. ما در قسمت ‹‹ کلبه افکار ››  منتظز شما هستیم. با پیام های خود ما را به ادامه کار دلگرم کنید...

******‹‹‹ ...... با تشکر ...... ›››******