همگرایی یکنواخت در ویکی پدیا

 

همگرایی یکنواخت

Uniform convergence  

از ویکی پدیا ‹‹ دایرة المعارف آزاد ››

در آنالز ریاضی دنباله ی ‌‌ {f_n } از توابع ، همگرای یکنواخت به تابع حدی f است هرگاه روند همگرای ِ  {f_n } به f ، به  x  بستگی نداشته باشد . این عقیده از آن جهت استفاده می شود که چندین ویژگی مهم ِ توابع  {f_n } ، مانند پیوستگی ، مشتق پذیری  و انتگرال پذیری ریمان ، تنها در صورتی که همگرایی یکنواخت باشد به تابع حدی f منتقل می شوند .

تعریف و مقایسه با همگرایی نقطه ای ( Difinition and comparison with pointwise convergence )  : 

 انگار  S  یک مجموعه و به ازای هر عدد طبیعی  n ،   ، توابعی حقیقی مقدار باشند. گوییم دنباله ی { f_n }  به طور یکنواخت همگرا به حد   است اگر و تنها اگر

برای هر e >۰ ،  عدد طبیعی  N طوری وجود داشته باشد که برای هر x در S  و هر   داشته باشیم

 . 

 مقایسه این مفهوم با مفهوم همگرایی نقطه ای  : دنباله ی { f_n }  همگرای نقطه ای  به   است اگر و تنها اگر

برای هر x درS و هر  e >۰ ،  عدد طبیعی  N طوری وجود داشته باشد که برای هر  داشته باشیم

 . 

درهمگرایی یکنواخت ، N  تنها به e بستگی دارد در حالی که در همگرایی نقطه ای  N  ، به e و x بستگی دارد . بنابراین آشکار است که همگرایی یکنواخت ، همگرایی نقطه ای را نتیجه می دهد .

همان طور که مثال زیر نشان می دهد ، عکس مطلب برقرار نیست :

گیریم S بازه ی واحد [a,b] باشد و برای هر عدد طبیعی  n تعریف می کنیم . پس { f_n }  همگرای نقطه ای به تابع f‌که به صورت زیر تعریف شده ،  است :

اگر x<۱ آنکاه  f(x) = 0  و f(۱) = 0 .

این همگرایی ،  یکنواخت  نیست . نمونه وار برای  ، هیچ Nی که نیاز تعریف را برآورده کند، وجود ندارد.

فرمولبندی توپولوژیکی ( Topological reformulation ) :‌

فضای توپولوژی X داده شده است. می توانیم فضای توابع با مقادیر حقیقی یا مختاط  و کراندار روی X را با نرم یکنواخت توپولوژی مجهز کنیم. به این ترتیب  همگرایی  یکنواخت به سادگی در  توپولوژی  نرم یکنواخت  ، همگرایی معنا می دهد.

قضیه ها ( Theorems ) :

اگر S یک بازه ی حقیقی (‌ یا در واقع هر فضای توپولوژی ) باشد، می توانیم درباره ی همگرایی ِ توابع f_n و  f صحبت کنبم. قضیه زیر ، نتیجه ی بسیار مهمی درباره ی  همگرایی  یکنواخت  است :

  قضیه همگرایی  یکنواخت  :  اگر { f_n } دنباله ای از توابع ِ پیوسته باشد که همگرای یکنواخت به تابع f  است . آنگاه f نیز  پیوسته است .

مثال نقضی برای عکس   قضیه همگرایی  یکنواخت :  توابع ِ پیوسته ی سبز رنگ ِ ، همگرا به تابع ناپیوسته ی قرمز رنگ است ، زیرا همگرایی یکنواخت نیست .

ادامه دارد ....