۱۰. شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان اشتیل یس

شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان-اشتیل یس

در بسیاری از قضیه های پیشین ، با باور به وجود انتگرال ها ، ویژگی های آن ها را بررسی کردیم. اکنون این پرسش پیش می آید که انتگرال ریمان-اشتیل یس در چه مواردی وجود خواهد داشت. در ادامه دو شرط کافی و مفید برای انتگرال پذیری بیان خواهد شد.

قضیه ۲-۱۶ : اگر یکی از توابع f و  a  بر  پیوسته و دیگری بر این بازه با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نسبت به a  و a   نسبت به f بر  دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهند بود.

برهان : ابتدا فرض کنیم که f بر  پیوسته و   a  بر این بازه با تغییرات کراندار باشد. از آن جا که هر تابع با تغییرات کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، قضیه را تنها برای حالتی که a  بر این بازه صعودی باشد ، ثابت می کنیم.

اگر در این صورت a  بر  تابع ثابت است. پس   و حکم برقرار است. اما اگر   . پیوستگی f بر ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه در بر دارد. پس اگر e>0 داده شده باشد ، ی هست که

 

 که . افراز   از  را طوری انتخاب می کنیم که  . اگر   افرازی ظریفتر از  باشد ، داریم و بنابراین برای هر  خواهیم داشت

 

. چون  a  صعودی است پس  و داریم

 

حال با جمعبندی روی k خواهیم داشت

 

این رابطه نشان می دهد که شرط ریمان برای تابع  f نسبت به a بر  برقرار است. یعنی بر  . و بنابر قضیه انتگرال گیری جزء به جزء  . این نتیجه مطلوب است وحکم برقرار است. ÿ   

---

تمامی مطالب قبلی فصل ۲