۱۹. برهان های درستی ۱. برهان مستقیم

برهان های درستی

۱. برهان مستقیم « Direct Proof »

۲. برهان غیرمستقیم « برهان خلف Reductio ad absurdum  »

۳. استقرای ریاضی « Mathematical induction »

۱. برهان مستقیم « Direct Proof »

در این نوع برهان ، گزاره ای به نام نتیجه، از ترکیب عطفی گزاره های مفروضات بدست می آید. مرسوم است که مفروضات و نتیجه را در سمت جپ زیر هم می نویسند و با یک خط نتیجه را از مفروضات جدا می کنند. برای راحتی هر سطر را شماره گذاری کرده و در هر مرحله، نام قانونی را که از آن استفاده شده و شماره سطرهایی را که در قانون استفاده شده اند ، در سمت راست گزاره می نویسند.

قانون هایی که استفاده می شوند بایستی قبلا ً درستی آنها اثبات شده باشد و ابهامی در درستی آن نباشد.

 مثال ۳: حکم زیر را با برهان مستقیم ثابت کنید.

عددی بر ۲ بخش پذیر است اگر و تنها اگر رقم یکان آن زوج باشد. عددی بر ۳ بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام  آن بر ۳  بخش پذیر باشد. عددی بر ۶ بخش پذیر است که بر ۲ و ۳ بخش پذیر باشد. عدد بر ۶ بخش پذیر نیست و رقم یکان آن زوج است. بنابراین عدد بر ۳ بخش پذیر نیست .

حل: ابتدا حکم بالا را به صورت گزاره ای می نویسیم . اگر گزاره های  

d : عدد بر ۲ بخش پذیر است

z : رقم یکان عدد زوج است

c :  : عدد بر ۳ بخش پذیر است

m : مجموع ارقام عدد بر ۳ بخش پذیر است.

s :  : عدد بر ۶ بخش پذیر است

را در نظر بگیریم، آنگاه داریم :

1.  عددی بر ۲ بخش پذیر است اگر و تنها اگر رقم یکان آن زوج باشد :    
2. عددی بر ۳ بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام  آن بر ۳  بخش پذیر باشد : 
3. عددی بر ۶ بخش پذیر است که بر ۲ و ۳ بخش پذیر باشد : 
4.  عدد بر ۶ بخش پذیر نیست و رقم یکان آن زوج است : 

-----------------------------------------------------------------------

نتیجه عدد بر ۳ بخش پذیر نیست .           c~

۱. 

۲.

۳.

۴.    c~

۵.                                                  ۱ و اختصار

۶.                                                  ۱ و اختصار

۷.                                                ۲ و اختصار

۸.                                               ۲ و اختصار

۹.        ۶ و ۸  قیاس ذوالوجهین موجب

۱۰.                                      ۹ و ۳ تعدی

۱۱. s ~                                                 و ۴و  اختصار

۱۲. z                                                   و ۴و  اختصار

۱۳. ( )                              ۱۰و۱۱ - قیاس دفع

۱۴.                                   ۱۳ و دمورگان

۱۵. m~                                   و ۱۴و۱۲ - رفع مؤلفه

۱۶.                            ۷- عکس نقیض

۱۷. c~                                و۱۵و۱۶ قیاس استثنایی

 که به این ترتیب به نتیجه مطلوب رسیدیم.

  - ۱۹ -

---

 صفحه های قبل : « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »