۲۲. تعریف های استقرایی و قضیه ۸

تعریف های استقرایی :

در بسیاری از تعاریف در ریاضیات ، از استقرا استفاده می شود. نمونه وار در اعداد حقیقی ، توان های طبیعی اعداد به صورت استقرایی تعریف می شوند. اگر x عددی حقیقی و n عددی طبیعی باشد ،  xⁿ⁺¹=xⁿ.x

بنابراین

x¹=x

x²=x¹.x

x³=x².x   و ....

همچنین

  x=x

2x=x+x

3x=2x+x   و ... nx=(n-1).x  .

فاکتوریل ! : اگر n  یک عدد طبیعی باشد، آنگاه !n ( بخوانید n فاکتوریل ) ، غبارتست از حاصلضرب اعداد طبیعی ِ کوچکتر یا مساوی با n . و به صورت استقرایی به قرار زیر است :

۱=!۱

۲×۱=!۲

!۲×۳=!۳

 

همچنین بنابر قرارداد ۱=!۰ .

تعریف  : اگر n یک عدد طبیعی و r یک عدد صحیح باشد، به صورت زیر تعریف می شود :

 

و اگر 

 

قضیه ۸ :  اگر n  و  r اعداد صحیح باشند و  ، آنگاه

       ( ۱ )

.

برهان : این قضیه را به استقرا ثابت می کنیم . ۱. ابتدا نشان می دهیم

    ( ۲ )

. از آنجا که  پس r=0  یا r=1  . اگر r=0 ، طبق تعریف داریم :

    ( ۳ )

و اگر r=1  :

    ( ۴ )

 پس به ازای  n=1 گزاره حکم برقرار است .

۲. حال فرض کنیم گزاره حکم به ازای n=k برقرار باشد( فرض استقرا) . یعنی

    ( ۵ )

که r را بین 0 و k  دلخواه اما تزین پس ثابت در نظر می گیریم . باید نشان دهیم :  

     ( ۶ )

طبق تعریف داریم :

      ( ۷ )

که در گام دوم تساوی های ( ۷ ) از برقراری فرض استقرا برای n=k استفاده شده است. تساوی های ( ۷ ) ما را به نتیجه مطلوب می رساند.

  - ۲۲ -

---

 صفحه های قبل : « ۲۱ » ، « ۲۰ » ، « ۱۹ » ، « ۱۸ » ،  « ۱۷ » ،   « ۱۶ »  ،  « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ،  « ۱۲ » ،  « ۱۱ » ، « ۱۰ » ،  « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ،  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ »  ،  « ۱ »