۲.۱ مجموعه ها

فصل دوم « مجموعه ها »

چشم اندازی به آنچه در این فصل خواهیم گفت :

ابتدا به بیان مفهوم مجموعه می پردازیم و سپس روابط حاکم بر مجموعه ها و پس از آن چند قضیه در مجموعه ها را بیان و اثبات می کنیم . پس از مجموعه ها ، به مفهوم خانواده و خانواده مجموه های اندیس دار خواهیم پرداخت که این قسمت نیز با تعاریف و قضایای مربوطه همراه خواهد شد. سرانجام به بیان پارادکس راسل می پردازیم.

« مجموعه ها Sets »

تعریف ها : تعریف مجموعه ، شاید در ابتدا ساده و ابتدایی به نظر برسد، اما از مهمترین و اساسی ترین مفاهیم در ریاضیات جدید است.

نخستین تعریف علمی مجموعه، در پایان قرن ۱۹ میلادی ، سال ۱۸۹۵ توسط «‌ گئورگ کانتور Georg Cantor  » بیان شده است. ما نیز از تعرف کانتور استفاده می کنیم. کانتور یک مجموعه را به صورت زیر تعریف می کند :

 یک مجموعه ، گردایه ای از اشیاء متمایز در فکر یا شعور ماست که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود.

هر یک از اشیاء متمایز در مجموعه را ، یک عضو یا یک عنصر از مجموعه گوییم. در ریاضیات، مجموعه ها را با ثبت عناصرشان بین دو ابرو , بیشتر با حروف بزرگ لاتین مانند A و ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌B و ... و عناصر مجموعه را با حروف کوچک لاتین مانند a و b و ... نشان می دهند. عناصر مجموعه ی A دلخواه است  و می تواند اعداد، حروف، اشیاء، حیوانات و... را در برگیرد ، اما بحث ما در ریاضیات به مجموعه اعداد کشیده می شود.

 اگر عنصر x ، عضوی از مجموعه داده شده ی A باشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A است » یا « x متعلق به مجموعه ی A است. » و با نماد « » نشان می دهیم. پس نماد « » به معنای « متعلق بودن به » بکار می رود.

اگر عنصر x ، در مجموعه ی داده شده ی A نباشد، گوییم « x عضوی از مجموعه ی A نیست » یا « x متعلق به مجموعه ی A نیست. » و با نماد « » نشان می دهیم و نماد « » برای « عضو نبودن » بکار برده می شود.

مهمترین مجموعه هایی که ما در این درس با آنها سر وکار داریم به قرار زیر است:

۱. مجموعه تهی« impety set » ‌: مجموعه ای را که هیچ عضوی نداشته باشد، مجموعه تهی گویند. این مجموعه را با نماد یا  ‍‍‌‍‍{} نشان می دهیم.

۲.  مجموعه اعداد طبیعی « set of natural number » :در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با IN نشان می دهند و به قرار زیر است:

۳. مجموعه اعداد حسابی : این مجموعه را  با W نشان می دهند :

۴.  مجموعه اعداد صحیح : این مجموعه را  با Z  نشان می دهند :

۵. مجموعه اعداد صحیح زوج :این مجموعه را  با E نشان می دهند :

۶. مجموعه اعداد صحیح فرد : این مجموعه را  با O نشان می دهند :

۷. مجموعه اعداد گویا : این مجموعه را  با Q نشان می دهند :

۸. مجموعه اعداد حقیقی : این مجموعه را  با IR نشان می دهند، که شامل تمام اعدا اصم و گویا می باشد. عددی را که نتوان به صورت یک عدد گویا نوشت ، یک عدد گنگ یا اصم گویند مانند  و p .

  - ۱ -