۶. قضیه های مجموعه ها- قضیه ۱و۲و۳

قضیه ها ی مجموعه ها

قضیه ۱‌: تهی زیر مجموعه ی تمام مجموعه هاست.

برهان : اگرA یک مجموعه ی دلخواه باشد، بایستی ثابت کنیم    ، یعنی نشان می دهیم که گزاره ی شرطی  ;یک راستگو است. اما طبق تعریف محموعه ی تهی، این مجموعه هیچ عضوی ندارد، پس  نادرست است. بنابراین ، گزاره ی شرطی ِ حکم ، به انتفای مقدم ، یک گزاره ی راستگو است . پس حکم برقرار است.

قضیه ۲ : اگر A  و B  و C  مجموعه هایی باشند که  و ، آنگاه .

برهان : فرض کنیم  و . یعنی  ;     و     ; . بنابراین طبق قانون تعدی از فصل اول مبانی ریاضیات داریم :  ; که این یعنی .

 قضیه ۳ : ( قوانین اشتراک و اجتماع مجموعه ها ) ؛ اگر A  و B   و  C  مجموعه های دلخواه باشند، آنگاه

الف : قانون های خود توانی

۱.   A  =      

۲.   A  =    

ب :  قانون های جابجایی

۱.  

  ۲. 

ج :  قانون های شرکت پذیری

۱.   

۲. 

د:  قانون های پخش پذیری

۱.   

 ۲. 

برهان : قسمت های الف   و ب  با استفاده از تعریف ها به راحتی اثبات می شود . از قسمت های ج  و  د  ، یک نمونه را اثبات می کنیم.

ج : ۱.  برای اینکه نشان دهیم ،  نشان می دهیم به ازای هر x ،  x عضوی از طرف راست تساوی است اگر و تنها اگر  x عضوی از طرف چپ تساوی باشد. بنابراین :

       

               

که در گام های اول ، دوم ، چهارم و آخرین هم ارزی بالا، از تعریف اشتراک مجموعه ها و در گام سوم از شرکت پذیری ترکیب فصلی ( فصل اول مبانی ریاضیات) استفاده شده است. هم ارزی بالا ما را به نتیجه ی مطلوب ِ     می رساند.

 د ۲ :

  تعریف اجتماع

                      تعریف اشتراک

     پخش پذیری v

                    تعریف اجتماع

                         تعریف اشتراک

با توجه به هم ارزی های بالا و تعریف تساوی مجموعه ها، به نتیجه ی مطلوب رسیدیم.

  - ۶ -

---

صفحه قبلی : « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ،   « ۲ » ،  « ۱ »