۱۲. تعریف خانوادهی تهی مجموعه ها و قضیه ۸

 تعریف خانواده ی تهی مجموعه ها :

اگر مجموعه ی اندیس گذار تهی باشد، یعنی =I و خانواده ی G با =I   اندیس گذاری شده باشد، در این صورت به G خانواده ی تهی مجموعه ها گفته می شود. این خانواده را با نماد    نمایش می دهند.

قضیه ۸ : اگر  خانواده ی تهی مجموعه ها باشد، آنگاه

الف :  =

ب :  U=

برهان : الف : به برهان خلف ،‌ فرض کنیم . پس xی در  وجود دارد. یعنی

; 

با توجه به تعریف اجتماع خانواده های اندیس دار، بایستی حداقل یک   موجود باشد و    باشد. یعنی  . اما مجموعه ی تهی بدون عضو است. پس گزاره ی عطفی پایانی یک تناقض است. بنابراین فرض خلف به تناقض می انجامد که نشان می دهد حکم اولیه =  درست است.

 ب:‌ بنابر تعریف اشتراک خانواده ها داریم

 =

یعنی   ، مجموعه ی تمام xهایی در U است که یه ازای آن ها رابطه ی شرطی   یک گزاره ی درست باشد. اما چون تهی عضوی ندارد پس   نادرست است و گزاره ی شرطی به انتفای مقدم ، برای تمام xهای در U برقرار است. پسU=.

  - ۱۲ -

---

صفحه های قبلی : « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « 9 » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ،   « ۲ » ،  « ۱ »