۱۴. پارادوکس راسل

پارادوکس راسل

پارادوکس راسل بیان می کند که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها چگونه به تناقض منجر می شود.این پارادوکس را به کمک دو لم و یک قضیه بیان می کنند.

لم ۱ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و  آنگاه   .

برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی  درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم  که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس  

 لم ۲ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و  آنگاه  .

برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی  درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم  که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس  .

قضیه ۱۱ : مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود ندارد.

برهان : در لم ۱ و ۲ دیدیم که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها منجر به تناقض و می شود. پس مجموعه ی تمام مجموعه ها نمی تواند وجود داشته باشد.

به مجموعه ی  مجموعه ی راسل گفته می شود. این مجموعه شامل آن مجموعه ها از مجموعه ی مفروض جهانی است که عضوی از خودشان نباشند.

به این ترتیب به پایان فصل دوم مبانی ریاضیات می رسیم.

  - ۱۴ -

---

صفحه های قبلی : « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « 9 » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ،   « ۲ » ،  « ۱ »