۱.جفت مرتب،حاصلضرب دکارتی، مثال ۱و۲ ،‌‌ نکته۱

مبانی ریاضیات

فصل سوم رابطه و تابع

چشم انداز

سومین فصلی که معمولاْ در مبانی ریاضات عنوان می شود، رابطه و تابع است. رابطه و تابع روی مجموعه ها تعریف می شوند.پس بجاست که بعد از فصل مجموعه ها ، ارائه شوند. برای آشنایی با رابطه ها و تابع ها، ابتدا زوج مرتب را خواهیم شناخت و پس از آن حاصلضرب دکارتی مجموعه ها را بیان می کنیم.سپس به مفهوم رابطه خواهیم پرداخت و رابطه های مهم مانند رابطه ی هم ارزی و تابع که حالت خاصی از رابطه است، گفته می شود.

حاصلضرب دکارتی مجموعه ها

تعریف ۱جفت مرتب : هر دوتایی مرتب ِ که ترتیب قرار گرفتن a و b در آن مهم باشد را یک جفت مرتب گویند.

تعریف۲ جفت مرتب : جفت مرتب  به صورت  نیز تعریف می شود. یعنی=.

اگر = z یک جفت مرتب باشد، a و b را به ترتیب مولفه اول و مولفه ی دوم z گویند و با نماد a=pr₁z و  b=pr₂z  نمایش می دهند.

تساوی دو جفت مرتب : دو جفت مرتبو را مساوی گویند اگر و تنها اگر و . 

تعریف حاصلضرب دکارتی دو مجموعه : اگر A و B دو مجوعه ی دلخواه باشند، حاصلضرب دکارتی A و B را با نماد نمایش می دهند و مجموعه ی تمام جفت های مرتب ِ است که   و باشد. یعنی = .

 مثال ۱-۳: اگر   و، آنگاه

= 

=

= 

= 

نکته ۱-۳ : مثال ۱-۳ نشان می دهد که . در حالت خاصی که A=B باشد می توان نتیجه گرفت که = . اما عکس مطلب برقرار نیست، یعنی از تساوی  = نمی توان نتیجه گرفت که A=B . زیرا اگر و  =B باشد، آنگاه

==   و  ==

بنابراین = اما A.

جفت مرتب = z را در صفحه ی مختصات به صورت زیر نمایش می دهند:

 

حاصلضرب دکارتیرا نیز می توان به صورت مجموعه ای از نقاط واقع در صفحه ی مختصات در نظر گرفت.

مثال ۲-۳: حاصلضرب در مثال ۱-۳ روی محور مختصات به صورت زیر است :

 

  - ۱ -

---