آزمون میان ترم آنالیز ریاضی 1 دکتر حجازیان ترم اول 85-1384

آزمون میان ترم آنالیز ریاضی 1

دکتر حجازیان

ترم اول سال تحصیلی  85-1384

۱ -  یک مجموعه فشرده در یک فضای متری را تعریف کنید. فرض کنید  گردایه ای از زیر مجموعه های فشرده ی ناتهی فضای متری X باشد که اشتراک هر تعداد متناهی از اعضای آن ناتهی است. ثابت کنید  .

۲ -   نقطه ی حدی یک زیرمجموعه  E ازفضای متری X را تعریف کنید. اگر

مجموعه ی نقاط حدی E باشد، ثابت کنید 

بسته است.

 ۳ - اگر  ، ثابت کنید  .

 ۴ - برای مجموعه ی  ،  را با ذکر دلیل بیابید. سپس    را بدست آورید.

۵ - یک مجموعه ی همبند را تعریف کنید. نشان دهید اگر  همبند باشند ولی کراندار نباشند آنگاه به ازای هر  و هر   ،  . با مثال هایی نشان دهید که مفروضات همبندی و کراندار نبودن X  ضروری می باشد.

۶ -  ثابت کنید فضای متری X همبند است اگر و فقط اگر هر زیر مجموعه ی ناتهی و سره ی X  دارای مرز ناتهی باشد.

۷ -  ثابت کنید   در  فشرده است.