امتحان جبرخطی 1 دکتر صال مصلحیان ترم اول 84-1383

امتحان جبرخطی 1

دکتر صال مصلحیان

ترم اول 84-1383

1.هر یک از مفاهیم زیر را با ذکر یک مثال  تعریف کنید:

الف) ترانهاده تبدیل خطی

ب) دوگان دوم یک فضای برداری

ج) رد یک ماتریس

د) عملگر قطری شدنی

ه) جمع مستقیم خارجی

۲. ثابت کنید ماتریس های متشابه چند جمله ای سرشتنمای مساوی دارند .

۳. فرض کنید  تابعکهای خطی روی فضای برداری V  به ترتیب با فضاهای پوچ  باشند . ثابت کنید g ترکیب خطی  است اگر و فقط اگر  N  شامل اشتراک  باشد.

۴. ثابت کنید هر تبدیل خطی از میدان F به F به صورت  است که در آن c اسکالری در F است.

۵ . فرض کنید T عملگری خطی روی فضای متناهی البعد V باشد . ثابت کنید T معکوس پذیر است اگر و فقط اگر هر پایه را به یک پایه نقش کند.

۶. فرض کنید T عملگری خطی روی فضای متناهی البعد V باشد و  نشان دهید  .

7. فرض کنیم   V یک فضای برداری باشد که لزوما ٌ با بعد متناهی نیست و هر زنجیره صعودی از زیر فضاهای V سرانجام متوقف شود . نشان دهید اگر T یک عملگر خطی پوشا روی V باشد، آنگاه T یک به یک است.