آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت۲ ( پس از ویرایش)

تعریف ۱: تابع a را بر یک تابع پله ای در نقطه ی نامیم اگر به صورت زیر باشد

یعنی تابع a در نقاط غیر ازc تابع ثابت باشد.

تذکر : اگر a در c پله ای باشد ،

و

مثال1 : تابع زیر دریک تابع پله ای است .

قضیه 2-7: اگر a در نقطه c  بر پله ای و f تابعی بر باشد که f و a هر دو از یک طرف در c ناپیوسته نباشند، آنگاه  بر و

برهان : فرض کنیمافرازی از   شاملباشد . در این صورت

بنابراین اگر a در c پیوسته باشد آنگاه برای افراز P ، داریم 

و لذا

 

اگر a در  نا پیوسته باشد

 

بنابراین

 

حال اگر f درc پیوسته باشد وe<0  داده شده باشد، آنگاه d<0  هست که

 

که

 

در این حالت اگر افراز را چنان بگیریم که و  و  به ازای هرخواهیم داشت

   (1) 

یعنی در صورتی که f درc پیوسته و a در c پله ای باشد ، انتگرال فوق وجود دارد. اما اگر f در c ، از راست پیوسته و a در c از چپ پیوسته باشد ، یعنی

 

اگر  e<0 داده شده باشد، d<0 هست که

 

در این حالت کافی است  را افرازی بگیریم که و بنابراین

 

که با جایگزینی این مقدار در نامساوی (1) روابط همچنان درستی خواهیم داشت. یعنی اگرf در c ، از راست وa درc از چپ پیوسته باشد ، انتگرال بالا موجود و قضیه برقرار خواهد بود. و سر انجام در حالتی که f در c ، از چپ وa در c از راست پیوسته باشد ، یعنی

 

اگر e<0 داده شده باشد ، d<0 هست که

 

در این حالت  نیز کافی است  را افرازی بگیریم که و بنابراین

 

که با جایگزاری آن در نامساوی (1) برهان کامل می شود.

مثال: اگرو تابع f  با دامنه R در نقاط صحیح از چپ پیوسته باشد، آنگاه برای هر عدد طبیعی n ، موجود و برابر است با

توجه : مثال و قضیه بالا نشان می دهند که شرط پیوستگی برای انتگرال پذیری ، شرط لازم نیست. یعنی توابعی موجودند که ناپیوسته و انتگرال پذیرند.

در ادامه شکل کلی تابع پله ای را تعریف کرده و چگونگی تحویل انتگرال ریمان-اشتیل یس را به مجموع متناهی و بر عکس را در دو قضیه مجزا بیان می کنیم.

تعریف2: ( تعمیم تابع پله ای ) تابع a با دامنه ی را یک تابع پله ای گوییم در صورتی که افرازی از  مانند

 

وجود داشته باشد به گونه ای که a بر هر زیر بازه ی باز ِ که  دارای مقدار ثابت باشد.

تعریف 3: به ازای k=1 ، جهش در نقطه ی   را برابر با تفاضل  و برای k= n ، جهش در نقطه ی   را برابر با تفاضل  و در دیگر x_k ها( یعنی ) برابر با تفاضل  تعریف می شود.

قضیه 2-8: فرض کنیم a بر تابع پله ای با نقاط افراز ِ  باشد و در نقطه ی x_k ، دارای جهش باشد وf نیز بر طوری  تعریف شده باشد که f و a در هر x_k هر دو همزمان از چپ یا از راست ناپیوسته نباشند. در این صورت  وجود دارد و داریم

 

برهان : طبق خواص انتگرال می توان نوشت

 

حال قضیه 7-2 را برای هر یک از انتگرال های طرف راست ِ تساوی بالا بکار می بریم . خواهیم داشت

 

پس برهان تمام است.

قضیه 2-9: هر مجموع متناهی را می توان به صورت انتگرال ریمان-اشتیل یس در آورد.

برهان: فرض کنیم  یک مجموع متناهی باشد. تابع  f  را بر بازه ی  به صورت و اگر  و  آنگاه 

تعریف می کنیم. در این صورت با در نظر گرفتن  بر این بازه خواهیم داشت

 

که ، جهش تابع a در نقطه x_k  است . چون این جهش برای تابع جزء صحیح برابر 1 واحد است و تابعf در نقاط x_k از راست و تابع جزء صحیح از چپ ناپیوسته اند ، طبق قضیه پیشین داریم

 

این پایان برهان است.

به این ترتیب به پایان این جلسه می رسیم.

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۶ قسمت اول( پس از ویرایش)

برای دسترسی ساده تر به مطالب ، آن ها را در صفحات با حجم کم عرضه می کنیم.

در این جلسه خواهیم دید که انتگرال ریمان ، حالت خاصی از انتگرال ریمان-اشتیل یس است

قضیه 2-6: فرض کنیم بر بازه ی و همچنین بر این بازه پبوسته باشد. انتگرال ریمان وجود دارد و داریم

برهان : فرض کنیم  اگر P افرازی از  باشد ، مجموع ریمان زیر را تشکیل می دهیم

با همان افراز P و همان انتخاب از ها ، مجموع ریمان-اشتیل یس f نسبت به a را تشکیل می دهیم

با استفاده از قضیه مقدار میانگین برای هر ؛ وجود دارد که    .

بنابراین

از آنجا که f کراندار است، پس M>0 هست که برای هرx  از بازه ی داشته باشیم . پیوستگی بر بازه ی ، پیوستگی ِ یکنواخت آن را نتیجه می دهد. پس اگر داده شده باشد ، ی هست که فقط به بستگی دارد و

               (1)

می توان افرازرا از  طوری اختیار کرد که . در این صورت برای هر افراز P ظریفتر از آن داریم

               (2)

بنابراین برای  افراز ِ P، طبق روابط (1) و (2) داریم

و از آن جا که بر ، پس افرازی مانند هست که به ازای هر افراز ِ P ظریفتر از آن

اگر افراز را بر  اختیار کنیم ، به ازای هر افرازP که ظریفتر از آن باشد ، تمامی روابط بالا برقرار خواهند بود . طبق نامساوی مثلث داریم

و این پایان خوش برهان خواهد بود.

آنالیز ریاضی ۲ . جلسه ۵ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز : در این جلسه دو قضیه را اثبات خواهیم کرد که نخستین آن به انتگرال گیری به روش جزء به جزء شهرت دارد و دیگری تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس را بیان می کند.

ابتدا با توجه به بحث جلسه قبل ، تعریف زیر را ارائه می دهیم.

تعریف : اگر  وجود داشته باشد، تعریف می کنیم

 

و همچنین

 

قضیه ۴-۲: (انتگرال گیری به روش جزء به جزء) اگر بر بازه ی ، آنگاه بر و داریم

 

برهان: فرض کنیم e>0 داده شده باشد، از آن جا که  وجود دارد لذا افرازی مانند  موجود است که به ازای هر افراز ظریفتر از آن مانند 'P  ، داریم

 (*)

مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع  a نسبت به f بر بازه ی برای هر افراز دلخواه P، ظریفتر ازتشکیل می دهیم

   (1)

قرار می دهیم

 

داریم

  (2)

در این صورت از تفاضل روابط (1) و (2) دایم

 

اگر را افرازی از بگیریم که شامل تمام x_k ها وt_k ها باشد ، طرف راست تساوی فوق را می توان به صورت یک حاصل جمع به شکل ، نوشت. یعنی

 

در این صورت ، از P ظریفتر است و لذا از نیز ظریفتر خواهد بود. بنابراین نامساوی (*) برقرار خواهد بود و داریم

 

یعنی

 

باجایگزینی مقدار A داریم

 

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

قضیه ۵-۲ :(­­­ تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس )

فرض کنیم بر و g تابعی پیوسته و یکنوای اکید باشد که بر بازه ی I  با نقاط انتهایی ِ c و d تعریف شده باشد و داشته باشیم و . فرض کنیم h و b توابعی مرکب با ضوابط زیر باشند

  و

در این صورت   بر بازه ی I و داریم

 

برهان: فرض کنیم g بر بازه ی I  اکیداً صعودی و پیوسته باشد. پس یک به یک است . بنابراین

 

و تابع g^-1  نیز بر بازه ی اکیداً صعودی و پیوسته است. با این شرایط ، متناظر با هر افراز  از [ c.d] ، یک و تنها یک افراز ِ از [a,b]  وجود دارد که

 

به عبارت دیگر می توان نوشت

 

همچنین متناظر با هر تظریف ِ P ، یک تظریف   وجود دارد و بر عکس. حال فرض کنیم e>0 داده شده باشد. چون بنابراین افراز  از وجود دارد که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مثل داریم

 

متناظر با ، افراز  را بر [ c,d ] داریم. فرض کنیم افرازی بر [c,d] باشد که از ظریفتر باشد. مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع  h نسبت به b بر بازه ی [c,d] به ازای  و تشکیل می دهیم

 

حال اگر قرار دهیم

  و

به افراز ِ از  می رسبم که ظریفتر از   است. با توجه به تعاریف h وb داریم

 

که

 

به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð

تا جلسه بعد....

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت۲( پس از ویرایش )

قضیه ۱-۲: اگر و بر بازه ی بسته [a,b] آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی و متناهی c و d  داریم بر بازه ی بسته [a,b]   و

 

برهان : فرض کنیم  h = cf + dg   . به ازای یک افراز مفروض از بازه ی بسته [a,b] مانند P می توان نوشت

 

اکنون اگر e>0 داده شده باشد، را طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نا مساوی ِرا ایجاب کند. همچنینرا طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که نامساوی بر قرار باشد . اگر، به ازای هر افراز ِ ظریفتر از  مانند P داریم

 

از آنجا که c و d اعداد حقیقی متناهی اند و روابط فوق به ازای هر e>0 برقرار اند ، لذاو

 

و این پایان برهان است.ð

مشابه قضیه فوق (قضیه ۱-۲) که برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالده روی یک انتگرالگیر و بازه ی بسته مشترک بیان شد، می توان برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالگیر با انتگرالده و بازه ی بسته مشترک بیان و اثبات کرد. ما این قضیه را بیان کرده و از ذکر اثبات آن خودداری می کنیم .

قضیه 2-2: هرگاه وبر بازه ی [a,b]، آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی متناهی ِ c و d داریم

بر بازه ی [a,b]  و .

قضیه زیر به این مطلب اشاره دارد که اگر تابع f بر بازه ای بسته نسبت به a دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد، برهر زیر بازه ی بسته ی آن  نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است.

قضیه ۳-۲ : فرض کنیم ، اگر دو انتگرال از سه انتگرال زیر موجود باشند، آنگاه انتگرال سوم نیز موجود خواهد بود و

 

برهان :  فرض کنیم بر بازه های و  و e>0 داده شده باشد . افراز ، از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₁  داریم

 

و همچنین افرازی مانند از موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P₂ داریم

 

اکنون افرازی از[a,b]  خواهد بود . اگرP افرازی از[a,b]  به طوری که از ظریفتر باشد، افرازهای

  و

به ترتیب از افرازهای و ظریفتر خواهند بود. داریم

 

از طرفی

 

پس  بنابر تعریف بر [a,b]  و . به این ترتیب برهان این قضیه نیز کامل می شود. ð

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۴ قسمت ۱ ( پس از ویرایش )

انتگرال ریمان-اشتیل یس

چشم انداز: ابتدا انتگرال ریمان-اشتیل یس را تعریف کرده ، سپس با ذکر چند مثال مطلب را روشن می کنیم. پس از آن رابطه ی بین دو تابع انتگرال پذیر f و g  بر یک بازه ی بسته مشترک و مجموع آن ها را بررسی کرده و سرانجام خواهیم دید که اگر تابعی بر بازه ی بسته ای دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد ، بر هر زیر بازه ی بسته ی آن نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل خواهد بود. پس....

تعریف۱۰-۲: اگر f و a روی بازه ی  تعریف شده  و کراندار باشند و  افرازی از آن بازه باشد،

 

در این صورت برای هر  مجموع ریمان-اشتیل یس تابع  f  نسبت به a  را بر بازه ی به صورت زیر تعریف می کنیم:

 

تعریف2-2: گوییم تابع f  نسبت به a بر بازه ی دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است و می نویسیم بر بازه ی هرگاه عددی مانند A موجود باشد به طوری که برای هر e<0 ، افرازی مانند   موجود باشد که برای هر افراز ِ P  که ظریفتر ازباشد، داشته باشیم

 

چنین Aیی در صورت وجود یکتاست و با نماد نشان می دهیم. f  را تابع انتگرالده و a را تابع انتگرال گیر می نامند.

مثال۱-۲: فرض کنید و تابع f  بر بازه ی  به صورت زیر تعریف شده باشد

 

در این صورت با فرض A=1 و اگر انتخاب شود داریم

 

همچنین در این حالت اگر P افرازی ظریفتر از با شرط  باشد خواهیم داشت

 

بنابراین

 

و بعلاوه اگرباشد داریم

یعنی

پس . یعنی f نسبت به a بر بازه ی [0,1] دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهد بود و. 

مثال 2-2 : اگر  و بر بازه ی  باشند. فرض کنیم، در این صورت برای هر افراز افراز را می سازیم .( افرازP ظریفتر ازاست). اگر فرض کنیم داریم

لذا برای هر عدد حقیقی A نمی توان دو رابطه ی  و را داشت زیرا در این صورت

 

یعنی 2<1 که تناقض آشکاریست. پس افراز P ظریفتر از هست که

 

پس بر بازه ی  .

مثال ۳-۲:  و  در این صورت بر بازه ی [0,1] . زیرا با فرض A=1 ، برای هر e>0 ، را افرازی دلخواه از [0,1] می گیریم . اگر P افرازی ظریفتر از بر بازه ی [0,1] باشد، داریم

 

ولذا

 

پس   و.

ادامه دارد.....