ستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیمستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم۹. خانواده مجموعه های اندیس دار
خانواده مجموعه های اندیس دار
خانواده ها در ریاضیات ، شکل کلی تر مجموعه ها هستند. در تعریف مجموعه آوردیم که دسته ای از اشیاء متمایز هستند. اگر شرط مجزا بودن عناصر مجموعه را حذف کنیم ، خانواده حاصل می شود. پس به صورت نه چندان دقیق ، خانواده دسته ای از اشیاء است که ممکن است متمایز نباشند. به دیگر زبان ، در خانواده ، عضو تکراری وجود دارد ولی در مجموعه تکرار عضو جایی ندارد. بنابراین { a,a,a } یک خانواده سه عضوی و یک مجموعه ی تک عضوی است.
همان طور که اعضای یک مجموعه خود می توانند یک مجموعه باشند، اعضای یک خانواده نیز می توانند مجموعه باشند. به خانواده ای که عناصر آن مجموعه باشد ، خانواده ای از مجموعه ها ( یا خانواده ی مجموعه ها ) گویند. مانند ِ { {a} , {a,b} , {1} , {b,a} } .
اگر A یک خانواده از مجموعه ها مانند 
باشد ، می توانیم اعضای خانواده ی A را به صورت زیر شماره گذاری ( اندیس گذاری ) کنیم:
و 
و 
.به این ترتیب خانواده ی A به صورت 
خواهد بود. اگر دقت شود اندیس ها خود نیز مجموعه ی 
را تشکیل می دهند. با هر عضو از مجموعه ی I ، یک مجموعه از خانواده ی A نظیر شده است. به مجموعه هایی مانند I که برای اندیس گذاری بکار می روند ، مجموعه ی اندیس ها یا اندیس گذار نامیده می شود. اگر خانواده ی A ، با مجموعه ی I اندیس گذاری شده باشد، به آن خانواده ی مجموعه های اندیس دار گوییم.
اثبات قسمت دوم نکته ۳ - قضیه ۶ و۷
اثبات قسمت دوم نکته ۳ :
قسمت الف نکته ۳
تعریف -
تعریف متمم
قانون دمورگان
تعریف اشتراک
پخش پذیری
پخش پذیری
=
همچنین برای B
تعریف اجتماع
تعریف اشتراک
تعریف متمم
تعریف متمم نسبی
تعریف اجتماع
قضیه ۶ : اگر U مجموعه جهانی مفروض باشد، و A و B و C زیر مجموعه هایی از آن باشند،
الف : 
ب : 
=
پ : 
=
ت : =
ث : U=
برهان : ب:
نکته ۳ قسمت ب
جابجایی اجتماع
نکته ۳ قسمت ب
پ :
تعریف تفاضل متقارن
تعریف تفاضل متقارن
شرکت پذیری یای مانع جمع
تعریف تفاضل متقارن
تعریف تفاضل متقارن
ت:
نکته ۳ قسمت ب
تعریف -
تعریف اجتماع
ث :
نکته ۳ قسمت ب
=
U قضیه ۵ قسمت ۶
قضیه ۷ : اگر مجموعه ی A دارای n عضو باشد، 
دارای 2n عضو است.
برهان : اگر A تهی باشد، تنها یک زیر مجموعه خواهد داشت! ( خود تهی ) . اما اگر A دارای n عضو باشد، می تواند زیر مجموعه های ۱ عضوی، ۲ عضوی ، ... و n عضوی داشته باشد. زیر مجموعه های یک عضوی ِ A ، از میان n عضو انتخاب می شوند یعنی انتخاب یک شئ از n شئ 
. همچنین تعداد زیر مجموعه های ۲ عضوی منجر به انتخاب ۲ تا از n تاست و تعداد زیر مجموعه های r عضوی به انتخاب r تا از n تا منجر می شود 
. بنابر این تعداد کل زیر مجموعه های A که همان تعداد اعضای است، برابر است با حاصلجمع آن ها یعنی
اما اگر قضیه توزیع دوجمله ای را برای
بکار ببریم داریم :
=
یعنی دارای 2n عضو است.
قضیه های متمم گیری - ۴و۵
قضیه های متمم گیری
قضیه ۴ : قانون دمورگان: اگر A و B دو مجموعه دلخواه باشند:
الف:
=
ب:
=
برهان : الف: 
x تعریف متمم
تعریف اجتماع
~ 
~ قانون دمورگان ترکیب ها
تعریف متمم
تعریف اشتراک
قضیه ۵ : اگر U مجموعه جهانی و A و B زیر مجموعه هایی از آن باشند، آنگاه :
۱ . تهی عنصر خنثی در عمل اجتماع است: 
۲ . مجموعه ی جهانی عضو خنثی در عمل اشتراک است : 
۳ . A=
۴ . 
۵ . 
۶ . = و U=
۷ . 
برهان : ۱. 
تعریف اجتماع
c تعریف تهی
قضیه۷ فصل ۱
۲ . 
x تعریف اشتراک
t تعریف مجموعه مرجع
قضیه۷ فصل ۱
۵ . 
تعریف اشتراک
تعریف متمم
تعریف -
۷ .
تعریف زیر مجموعه
قانون عکس نقیض
تعریف متمم
تعریف زیر مجموعه
۶. قضیه های مجموعه ها- قضیه ۱و۲و۳
قضیه ها ی مجموعه ها
قضیه ۱: تهی زیر مجموعه ی تمام مجموعه هاست.
برهان : اگرA یک مجموعه ی دلخواه باشد، بایستی ثابت کنیم 
، یعنی نشان می دهیم که گزاره ی شرطی ;
یک راستگو است. اما طبق تعریف محموعه ی تهی، این مجموعه هیچ عضوی ندارد، پس نادرست است. بنابراین ، گزاره ی شرطی ِ حکم ، به انتفای مقدم ، یک گزاره ی راستگو است . پس حکم برقرار است.
قضیه ۲ : اگر A و B و C مجموعه هایی باشند که 
و 
، آنگاه 
.
برهان : فرض کنیم و . یعنی 
; و 
; . بنابراین طبق قانون تعدی از فصل اول مبانی ریاضیات داریم : ; که این یعنی .
قضیه ۳ : ( قوانین اشتراک و اجتماع مجموعه ها ) ؛ اگر A و B و C مجموعه های دلخواه باشند، آنگاه
الف : قانون های خود توانی
۱. A =
۲. A =
ب : قانون های جابجایی
۱.
۲.
ج : قانون های شرکت پذیری
۱.
۲.
د: قانون های پخش پذیری
۱.
۲.
برهان : قسمت های الف و ب با استفاده از تعریف ها به راحتی اثبات می شود . از قسمت های ج و د ، یک نمونه را اثبات می کنیم.
ج : ۱. برای اینکه نشان دهیم 
، نشان می دهیم به ازای هر x ، x عضوی از طرف راست تساوی است اگر و تنها اگر x عضوی از طرف چپ تساوی باشد. بنابراین :
که در گام های اول ، دوم ، چهارم و آخرین هم ارزی بالا، از تعریف اشتراک مجموعه ها و در گام سوم از شرکت پذیری ترکیب فصلی ( فصل اول مبانی ریاضیات) استفاده شده است. هم ارزی بالا ما را به نتیجه ی مطلوب ِ می رساند.
د ۲ :
تعریف اجتماع
تعریف اشتراک
پخش پذیری v
تعریف اجتماع
تعریف اشتراک
با توجه به هم ارزی های بالا و تعریف تساوی مجموعه ها، به نتیجه ی مطلوب رسیدیم.
۵. تصریح مجموعه ها و مجموعه ی توانی
تصریح مجموعه ها :
اگر A و B دو مجموعه باشند، با استفاده از۶ عمل معرفی شده در اعمال مجموعه ها، می توان به مجموعه هایی جدید دست یافت. یک روش دیگر برای ساختن مجموعه ای جدید از مجموعه ی مفروض A، مشخص کردن عناصری از مجموعه ی A است که در یک ویژگی صدق می کنند. یعنی اگرA یک مجموعه باشد، با مشخص کردن گزاره ای مانند 
، می توان مجموعه ی A را به دو مجموعه ی مجزا تقسیم کرد:
۱. مجموعه ای شامل آن عنصرها از A که به ازای آنها گزاره ای درست باشد.
۲. مجموعه ای شامل آن عنصرها از A که به ازای آنها گزاره ای نادرست باشد.
در ریاضیات و در نظریه ی مجموعه ها، همواره حالت ۱ مورد توجه است. یعنی اگر A یک مجموعه و گزاره ای روی A باشد، همواره مجموعه ی آن عنصرها از A که به ازای آنها گزاره ای درست باشد، مورد توجه است. این مجموعه را به صورت 
نشان می دهند. به این نماد ، نماد مجموعه ساز می گویند.
این موضوع در اصول موضوعه ی مجموعه ها به اصل موضوع تصریح شهرت دارد.
در صورتی که حالت دوم مورد نظر باشد، این گونه بیان می شود : مجموعه ی آن عنصرها از A که به ازای آنها ~ گزاره ای درست باشد. نماد مجموعه ساز آن به صورت 
می باشد.
مجموعه ی توانی :
یک روش دیگر ساختن یک مجموعه ی جدید از مجموعه دلخواه A ، استفاده از مجموعه ی توانی است. اگرA یک مجموعه ی دلخواه باشد، می توانیم مجموعه ای بسازیم که عنصر های آن شامل زیر مجموعه های A باشد.
در اصول موضوعه ی مجموعه ها ، متناظر با هر مجموعه ی A، مجموعه ای شامل تمام زیر مجموعه های A، وجود دارد که به آن مجموعه ی توانی A گویند.
مجموعه ی توانی A را با نماد 
نشان می دهند و به صورت زیر تعریف می شود :
=.