مسابقه شماره هفتم

مسابقه شماره 7

1. تعداد 2n نفر دور یک میز نشسته اند. n  نفر اول « خوب » و n  نفر باقی مانده « بد » هستند. نشان دهید که همیشه عدد صحیح  m  را ( وابسته به  n ) می توان یافت که اگر دایره را دور زده و هرm-امین نفر را اعدام کنیم ، افراد « بد » اعدام می شوند.

2. فرض کنید ، پیوسته و روی مشتق پذیر باشد. اگر برای هر ، مجموعه ی بسته باشد، ثابت کنید برپیوسته است.

۳. فرض کنید G گروهی باشد که برای هر ، عضووجود دارد که . در این صورت ، ثابت کنید برای هر زیر گروه نرمال غیر بدیهی ، گروه خارج قسمتی  دوری است.

تاریخ انتشار : شنبه 30 اردیبهشت ماه 1385

مهلت ارسال پاسخ ها : چهار شنبه 10 خرداد 1385 .

مسابقه شماره ششم

مهلت پاسخ گویی به این مسابقه به پایان رسیده است

مسابقه شماره ؟ -ام ( ششم)

۱. فرض کنیدو در این صورت مقدار عبارت زیر را بیابید:

۲. تمام چند جمله ای هایی را بیابید که در رابطه زیر صدق می کنند

فرض کنید k یک عدد طبیعی و . در این صورت ، ثابت کنید از هر عدد متمایز ، می توان n عدد را به گونه ای یافت که مجموع آنها برn بخش پذیر باشد.

افتخار آفرینان

ستارگان ریاضی  

• جناب آقای حمید ترابی اردکانی    « مدال نقره »
• جناب آقای آرش قاآنی فراشاهی    « مدال برنز»
• سرکار خانم صفورا جعفر زاده        « مدال برنز »
• جناب آقای رحیم رمضانیان        « تقدیرنامه »
• جناب آقای امین نعمت بخش   « تقدیرنامه »

و کسب عنوان چهارم تیمی مسابقات ریاضی دانشجویی کشور را به همراهی سرپرست تیم « سرکار خانم دکتر حجازیان » و با همراهی « دکتر میرزاوزیری : عضو محترم کمیته علمی مسابقات دانشجویی کشور » و سرکا خانم « میر ابراهیمی » به شما تبریک می گوییم.

 

*****« ستارگان ریاضی ۸۳ دانشگاه فردوسی مشهد »*****

 

آنالیز ریاضی ۲ جلسه ۹ ( ویرایش شده )

فصل سوم

دنباله و سری توابع

تعریف 1-3 ( همگرایی نقطه به نقطه : pointwise convergence ) : دنباله از توابع بر را نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند گوییم هرگاه

یا به عبارت دیگر گوییم دنباله نقطه به نقطه همگرا به تابعی مانند هرگاه 

تعریف 2-3 ( همگرایی یکنواخت « uniform convergence » ) : دنباله از توابع بر را همگرای یکنواخت به تابعی مانند گوییم هرگاه به ازای تمام xهای عضو E داشته باشیم

قضیه 1-3 « شرط کشی « Cauchy condition  » برای همگرایی یکنواخت دنباله ای از توابع » :

دنباله از توابع بر به طور یکنواخت همگراست اگر و تنها اگر

برهان: ابتدا انگار دنباله بر E به طور یکنواخت همگرا به تابعی مانند  باشد ، طبق تعریف همگرایی یکنواخت داریم

از طرف دیگر طبق نامساوی مثلث داریم

بنابراین

پس در شرط کشی صدق می کند. حال اگر در شرط کشی برصدق کند. چون R  فشرده است و  دنباله ای در Rاست که در شرط کشی صدق می کند، بنابراین در R همگراست. پس

نشان می دهیم این همگرایی یکنواخت است . با توجه به شرط کشی داریم

و با توجه به همگرایی داریم پس

بنابراین بر E همگرایی یکنواخت است.€

قضیه 2-3 « آزمون وایراشتراس « weierstrass test » برای همگرایی دنباله توابع » : اگر دنباله  از توابع بر E به طور نقطه به نقطه همگرا به تابع  باشد و

در این صورت دنباله به طور یکنواخت به همگراست اگر و تنها اگر  یا  

برهان: ابتدا اگر همگرای یکنواخت به بر E باشد ، برای 

داده شده ، داریم

حال اگر  داریم

در نتیجه

برعکس اگردر این صورت به ازای داده شده ، داریم

بنابراینبه طور یکنواخت به همگراست.€

قضیه 3-3 : اگرهمگرای یکنواخت به f برE باشد و( a  نقطه ی حدی E باشد) اگر به ازای هر n  داشته باشیم  آنگاه   یا به عبارت دیگر

برهان: چون همگرای  یکنواخت به f است لذا برای هرداده شده ، داریم

حال چون به ازای هر n ، ، پس به ازای ثابت داریم

پس به ازایداریم

یعنی

. €

ویرایش

ویرایش های انجام شده درسه شنبه تاریخ 19 اردیبهشت 85

• آنالیز ریاضی جلسه اول
• آنالیز ریاضی جلسه دوم
• آنالیز ریاضی جلسه سوم