انتگرال ریمان-اشتیل یس
چشم انداز : در این جلسه دو قضیه را اثبات خواهیم کرد که نخستین آن به انتگرال گیری به روش جزء به جزء شهرت دارد و دیگری تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس را بیان می کند.
ابتدا با توجه به بحث جلسه قبل ، تعریف زیر را ارائه می دهیم.
تعریف : اگر وجود داشته باشد، تعریف می کنیم
و همچنین
قضیه ۴-۲: (انتگرال گیری به روش جزء به جزء) اگر بر بازه ی
، آنگاه
بر
و داریم
برهان: فرض کنیم e>0 داده شده باشد، از آن جا که وجود دارد لذا افرازی مانند
موجود است که به ازای هر افراز ظریفتر از آن مانند 'P ، داریم
(*)
مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع a نسبت به f بر بازه ی برای هر افراز دلخواه P، ظریفتر از
تشکیل می دهیم
(1)
قرار می دهیم
داریم
(2)
در این صورت از تفاضل روابط (1) و (2) دایم
اگر را افرازی از
بگیریم که شامل تمام xk ها وtk ها باشد ، طرف راست تساوی فوق را می توان به صورت یک حاصل جمع به شکل
، نوشت. یعنی
در این صورت ، از P ظریفتر است و لذا از
نیز ظریفتر خواهد بود. بنابراین نامساوی (*) برقرار خواهد بود و داریم
یعنی
باجایگزینی مقدار A داریم
به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð
قضیه ۵-۲ :( تغییر متغیر در انتگرال ریمان-اشتیل یس )
فرض کنیم بر
و g تابعی پیوسته و یکنوای اکید باشد که بر بازه ی I با نقاط انتهایی ِ c و d تعریف شده باشد و داشته باشیم
و
. فرض کنیم h و b توابعی مرکب با ضوابط زیر باشند
و
در این صورت بر بازه ی I و داریم
برهان: فرض کنیم g بر بازه ی I اکیداً صعودی و پیوسته باشد. پس یک به یک است . بنابراین
و تابع g-1 نیز بر بازه ی اکیداً صعودی و پیوسته است. با این شرایط ، متناظر با هر افراز
از [ c.d] ، یک و تنها یک افراز ِ
از [a,b] وجود دارد که
به عبارت دیگر می توان نوشت
همچنین متناظر با هر تظریف ِ P ، یک تظریف وجود دارد و بر عکس. حال فرض کنیم e>0 داده شده باشد. چون
بنابراین افراز
از
وجود دارد که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مثل
داریم
متناظر با ، افراز
را بر [ c,d ] داریم. فرض کنیم
افرازی بر [c,d] باشد که از
ظریفتر باشد. مجموع ریمان-اشتیل یس را برای تابع h نسبت به b بر بازه ی [c,d] به ازای
و
تشکیل می دهیم
حال اگر قرار دهیم
و
به افراز ِ از
می رسبم که ظریفتر از
است. با توجه به تعاریف h وb داریم
که
به این ترتیب به پایان برهان می رسیم.ð
تا جلسه بعد....
دانشجویانی که جهت شرکت در مسابقات دانشجویی کشور برگزیده شده اند:
تیم منتخب برای شرکت در المپیاد ریاضی
قضیه ۱-۲: اگر و
بر بازه ی بسته [a,b] آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی و متناهی c و d داریم
بر بازه ی بسته [a,b] و
برهان : فرض کنیم h = cf + dg . به ازای یک افراز مفروض از بازه ی بسته [a,b] مانند P می توان نوشت
اکنون اگر e>0 داده شده باشد، را طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که
نا مساوی ِ
را ایجاب کند. همچنین
را طوری انتخاب می کنیم که برای هر افراز P که
نامساوی
بر قرار باشد . اگر
، به ازای هر افراز ِ ظریفتر از
مانند P داریم
از آنجا که c و d اعداد حقیقی متناهی اند و روابط فوق به ازای هر e>0 برقرار اند ، لذاو
و این پایان برهان است.ð
مشابه قضیه فوق (قضیه ۱-۲) که برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالده روی یک انتگرالگیر و بازه ی بسته مشترک بیان شد، می توان برای ترکیب خطی دو تابع انتگرالگیر با انتگرالده و بازه ی بسته مشترک بیان و اثبات کرد. ما این قضیه را بیان کرده و از ذکر اثبات آن خودداری می کنیم .
قضیه 2-2: هرگاه و
بر بازه ی [a,b]، آنگاه به ازای هر دو عدد حقیقی متناهی ِ c و d داریم
بر بازه ی [a,b] و
.
قضیه زیر به این مطلب اشاره دارد که اگر تابع f بر بازه ای بسته نسبت به a دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد، برهر زیر بازه ی بسته ی آن نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است.
قضیه ۳-۲ : فرض کنیم ، اگر دو انتگرال از سه انتگرال زیر موجود باشند، آنگاه انتگرال سوم نیز موجود خواهد بود و
برهان : فرض کنیم بر بازه های
و
و e>0 داده شده باشد . افراز
، از
موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P1 داریم
و همچنین افرازی مانند از
موجود است به طوری که به ازای هر افراز ظریفتر از آن ، مانند P2 داریم
اکنون افرازی از[a,b] خواهد بود . اگرP افرازی از[a,b] به طوری که از
ظریفتر باشد، افرازهای
و
به ترتیب از افرازهای و
ظریفتر خواهند بود. داریم
از طرفی
پس بنابر تعریف بر [a,b] و
. به این ترتیب برهان این قضیه نیز کامل می شود. ð
انتگرال ریمان-اشتیل یس
چشم انداز: ابتدا انتگرال ریمان-اشتیل یس را تعریف کرده ، سپس با ذکر چند مثال مطلب را روشن می کنیم. پس از آن رابطه ی بین دو تابع انتگرال پذیر f و g بر یک بازه ی بسته مشترک و مجموع آن ها را بررسی کرده و سرانجام خواهیم دید که اگر تابعی بر بازه ی بسته ای دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس باشد ، بر هر زیر بازه ی بسته ی آن نیز دارای انتگرال ریمان-اشتیل خواهد بود. پس....
تعریف۱۰-۲: اگر f و a روی بازه ی تعریف شده و کراندار باشند و
افرازی از آن بازه باشد،
در این صورت برای هر مجموع ریمان-اشتیل یس تابع f نسبت به a را بر بازه ی
به صورت زیر تعریف می کنیم:
تعریف2-2: گوییم تابع f نسبت به a بر بازه ی دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس است و می نویسیم
بر بازه ی
هرگاه عددی مانند A موجود باشد به طوری که برای هر e<0 ، افرازی مانند
موجود باشد که برای هر افراز ِ P که ظریفتر از
باشد، داشته باشیم
چنین Aیی در صورت وجود یکتاست و با نماد نشان می دهیم. f را تابع انتگرالده و a را تابع انتگرال گیر می نامند.
مثال۱-۲: فرض کنید و تابع f بر بازه ی
به صورت زیر تعریف شده باشد
در این صورت با فرض A=1 و اگر
انتخاب شود داریم
همچنین در این حالت اگر P افرازی ظریفتر از با شرط
باشد خواهیم داشت
بنابراین
و بعلاوه اگرباشد داریم
یعنی
پس . یعنی f نسبت به a بر بازه ی [0,1] دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهد بود و
.
مثال 2-2 : اگر و
بر بازه ی
باشند. فرض کنیم
، در این صورت برای هر افراز
افراز
را می سازیم .( افرازP ظریفتر از
است). اگر فرض کنیم
داریم
لذا برای هر عدد حقیقی A نمی توان دو رابطه ی و
را داشت زیرا در این صورت
یعنی 2<1 که تناقض آشکاریست. پس افراز P ظریفتر از هست که
پس بر بازه ی
.
مثال ۳-۲: و
در این صورت
بر بازه ی [0,1] . زیرا با فرض A=1 ، برای هر e>0 ،
را افرازی دلخواه از [0,1] می گیریم . اگر P افرازی ظریفتر از
بر بازه ی [0,1] باشد، داریم
ولذا
پس و
.
ادامه دارد.....
چشم انداز: حال که با مفهوم توابع با تغییرات کراندار آشنا شدیم ، می خواهیم بدانیم که آیا همه توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند؟ یا حتی اگر f با تغییرات کراندار باشد ، چه رابطه ای بین پیوستگی f و Vf بر بازه های بسته وجود دارد ؟ و در پایان این بخش به محاسبه ی Vf از روی تابع f می پردازیم.
مثال زیر در پاسخ به این سوال که آیا تمام توابع پیوسته با تغییرات ِ کراندارند، به ما کمک می کند.
مثال ۴-۱ : اگر تابعی پیوسته با ضابطه ی زیر باشد
به ازای هرعدد طبیعی n می توان افرازهای Pn را به صورت زیر در نظر گرفت
در این صورت خواهیم داشت
حال چون سری واگراست لذا سوپریمم
ها به ازای
وجود ندارد و از طرفی طبق رابطه ی زیر
نتیجه می گیریم که f بر بازه ی با تغییرات کراندار نیست.
این مثال نشان داد که توابع پیوسته ای بر بازه های بسته وجود دارند که با تغییرات کراندار نیستند.
در قضیه زیر رابطه ی بین پیوستگی یک تابع با تغییرات کراندار بر[a,b] را با پیوستگی تابع تغییرات کل آن روی همان بازه بررسی می کنیم.
قضیه ۷-۱ : اگر f بر بازه ی [a,b] با تغییرات کراندار باشد ، در این صورت f بر هرپیوسته است اگر و فقط اگر Vf بر این نقطه پیوسته باشد.
برهان : ابتدا فرض کنیم Vf در هر نقطه ی پیوسته باشد. پس برای هر e>0 ، d>0ی هست که
با توجه به بحث های قبلی داریم
این رابطه نشان می دهد که f بر هر پیوسته است .
بر عکس فرض کنیم f در هر نقطه ی پیوسته باشد. پس برای هر e>0 ، d>0ی هست به طوری که برای هر
و
)
( ۱)
از طرفی داریم
( ۲)
با تلفیق روابط (1) و (2) داریم
یعنی
از طرفی داریم
بنابر این نتیجه می شود که اگر آنگاه
لذا Vf در نقطه ی از طرف راست پیوسته است . به طور مشابه می توان ثابت کرد که Vf در نقطه ی
از طرف چپ پیوسته است . بنابراین Vf به ازای هر
پیوسته است. این پایان برهان خواهد بود .ð
برای ادامه بحث به چند تعریف نیازمندیم :
تعریف ۸-۱: نگاشت پیوسته f از [a,b] به R را یک منحنی در R گوییم . همچنین اگر f یک به یک باشد، آن را کمان یا قوس گوییم.
تعریف ۹-۱: منحنی f که بر بازه ی [a,b] تعریف شده را طول پذیر گوییم هرگاه f بر این بازه با تغییرات کراندار باشد.
یاد آوری :
قضیه زیر ما را در محاسبه تغییرات کل تابع در بازه ی [a,b] یاری می کند.
قضیه ۸-۱: اگر 'f بر بازه ی [a,b] یک منحنی با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نیزبر این بازه، یک منحنی با تغییرات کراندار است و داریم
برهان : برای هر افراز از بازه [a,b] داریم
یعنی
(*)
این نشان می دهد که منحنی f بر [a,b] با تغییرات کراندار است.
از طرفی پیوستگی 'f بر بازه [a,b] ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه نتیجه می دهد ، بنابراین
بنابراین با فرض ||P||<d برای هر داریم
بنابراین اگر داریم
از طرفی
بنابراین
با جمع بندی رابطه ی اخیر برای i=1,2,…,n داریم
یعنی
برای هر e>0 دلخواه. بنابراین
(**)
با توجه به روابط (*) و(**) برهان کامل می باشد .ð
با این قضیه به پایان مبحث توابع با تغییرات کراندار رسیدیم. جلسات آینده ، مبحث انتگرال ریمان-اشتیل یس را شروع می کنیم .