ستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیمستارگان ریاضی ۸۳
هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم۱۰. شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان اشتیل یس
شرط های کافی برای انتگرال پذیری ریمان-اشتیل یس
در بسیاری از قضیه های پیشین ، با باور به وجود انتگرال ها ، ویژگی های آن ها را بررسی کردیم. اکنون این پرسش پیش می آید که انتگرال ریمان-اشتیل یس در چه مواردی وجود خواهد داشت. در ادامه دو شرط کافی و مفید برای انتگرال پذیری بیان خواهد شد.
قضیه ۲-۱۶ : اگر یکی از توابع f و a بر 
پیوسته و دیگری بر این بازه با تغییرات کراندار باشد، آنگاه f نسبت به a و a نسبت به f بر دارای انتگرال ریمان-اشتیل یس خواهند بود.
برهان : ابتدا فرض کنیم که f بر پیوسته و a بر این بازه با تغییرات کراندار باشد. از آن جا که هر تابع با تغییرات کراندار را می توان به صورت تفاضل دو تابع صعودی نوشت ، قضیه را تنها برای حالتی که a بر این بازه صعودی باشد ، ثابت می کنیم.
اگر 
در این صورت a بر تابع ثابت است. پس 
و حکم برقرار است. اما اگر 
. پیوستگی f بر ، پیوستگی یکنواخت آن را بر این بازه در بر دارد. پس اگر e>0 داده شده باشد ، 
ی هست که
که 
. افراز 
از را طوری انتخاب می کنیم که 
. اگر 
افرازی ظریفتر از باشد ، داریم 
و بنابراین برای هر 
خواهیم داشت
. چون a صعودی است پس 
و داریم
حال با جمعبندی روی k خواهیم داشت
این رابطه نشان می دهد که شرط ریمان برای تابع f نسبت به a بر برقرار است. یعنی 
بر . و بنابر قضیه انتگرال گیری جزء به جزء 
. این نتیجه مطلوب است وحکم برقرار است. ÿ
۱۶.استدلال قیاسی، مثال۱ و مثال۲
استدلال قیاسی « Deductive reasoning » :
در اثبات قضیه های ریاضی ، نمی توان همواره از جدول ارزشی استفاده نمود. مثلا ْ اگر قضیه ای از ۵ گزاره ی ساده تشکیل شده باشد، جدول ارزشی آن دارای ۳۲ حالت منطقی خواهد بود. رسم یک چنین جدولی هیچ گاه مقرون به صرفه نیست و هیچ کس آن را توصیه نمی کند. اینجاست که استدلال قیاسی به کمک می آید . قواعدی را که در قضیه ها ، نکته ها و تعاریف گذشته با استفاده از جدول ارزشی اثبات نمودیم ، به عنوان « قواعد استنتاج » در نظر می گیریم . البته این قانون ها مستقل از یکدیگر نیستند . پس استدلال قیاسی به صورت زیر تعریف می شود :
استدلال قیاسی ارائه برهانی است با استفاده از تعاریف، اصول موضوعه ، قواعد استنتاج و قضیه هایی که قبلا ْ درستی آن ها اثبات شده است.
مثال ۱ : برهان خلف 
را به روش قیاسی ثابت کنید.
حل :
تعریف p
q
قانون دمورگان
قضیه ۷ . الف
تعریف p
بنابراین طبق قانون تعدی ، p
است.
مثال ۲ :قانون رفع مؤلفه ی 
را به روش قیاسی ثابت کنید.
حل:
قانون پخش پذیری
قضیه ۷.د . الف و قانون جابجایی
قانون پخش پذیری
قضیه ۷.د . الف
قضیه ۱. قسمت ۶ قانون اختصار
صفحه های قبل : « ۱۵ » ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
۱۵. قضبه ۶ و قضیه ۷
قضیه ۶ :
الف : قیاس دفع
p~
q~
( q
p )
F
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۲۵
ب: برهان خلف
( q
p~ )
( q~
p )
( q
p )
T
F
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
جدول ۲۶
قضیه ۷ : اگر c و t و p به ترتیب یک تناقض و یک راستگو و یک گزاره دلخواه باشند، آنگاه :
الف: 
ب: 
ج: 
د: 
برهان این قضیه ساده است و به عنوان تمرین به دانشجو واگذار می شود.
صفحه های قبل : « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
۱۴. قضیه ۵ و نکته ۶
قضیه ۵: قیاس ذوالوجهین موجب « Constructive Dilemmas » :
الف : 
ب : 
برهان : ب :
|
( s |
|
q ) |
|
( r |
|
p ) |
|
( s |
|
r ) |
|
( q |
|
p ) |
|
T F T F T F T
F T F T F T F T
F |
T
F T F F F F F T F T F F F F F |
T T T T F F F F T T T T
F F F F |
T F T T F F T T T T T T
T T T T |
T T F F T T
F F T T F F T T
F F |
T T
F F T T F F F F F F F F F F |
T T T T T T T T F F F F F F F F |
T T T T T T T T T T T T T T T T |
T F T F T F T
F T F T F T F T
F |
T F T T T F T T T F T T
T F T T |
T T F F T T
F F T T F F T T
F F |
T F T T F F F F T F T T
T F T T |
T T T T F F F F T T T T
F F F F |
T T T T F F F F T T T T
T T T T |
T T T T T T T T F F F F F F F F |
جدول ۲۴
نکته ۶ : اگر در طرف دوم قیاس ذوالوجهین موجب ، از قانون عکس نقیض استفاده کنیم، به قیاس ذوالوجهین منفی نظیر می رسیم:
الف : 
ب : 
صفحه های قبل : « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »
۱۲ قضیه ۳ ، نکته ۵
قضیه۳: اگر p و q وr گزاره باشند ، آنگاه :
الف : قانون های شرکت پذیری « Associtive Laws» :
و
ب : قانون های پخش پذیری « Distributive Laws » :
و
ج : قانون تعدی « Transitive Law » :
برهان :
جدول ۲۰
( r
q )
p
r
( q
p )
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F TF
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
F
FF
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
ب :
( r
p )
( q
p )
( r
q )
p
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F TF
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
F
F
F
F
جدول ۲۱
ج :
( r
p )
( r
q )
( q
p )
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
جدول ۲۲
نکته ۵ : بنابر قانون های شرکت پذیری ، می توان ترکیب عطفی چند گزاره را بدون پرانتز نوشت، یعنی
گزاره ای با معناست. و می توان به صورت خلاصه
نوشت . و همچنین
۰
بنابراین ترکیب عطفی p1 ، p2 ، .... ، pn تنها در صورتی درست است که تمام pi ها درست باشند و ترکیب فصلی آنها تنها در صورتی نادرست است که تمام pi ها نادرست باشند.
صفحه های قبل : « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « 2 » ، « ۱ »