مثال ۱۳ و تعریف تحدید یک رابطه و مثال ۱۴

مثال ۱۳-۳ : کوچکترین و بزرگترین رابطه هم ارزی روی مجموعه ی دلخواه A را بیابید.

حل: رابطه ی قطری ( همانی )، کوچکترین رابطه ی هم ارزی روی مجموعه ی دلخواه A است. زیرا از تعریف رابطه ی همانی پیداست که برای هر عنصر دلخواه a از A  داریم  . یعنی رابطه ی همانی خاصیت انعکاسی دارد. همچنین تقارنی است زیرا برای هر  واضح است که .و خاصیت تعدی نیز به انتفای مقدم برقرار است.

بزرگترین رابطه ی هم ارزی روی A‌ ، مجموعه ی است.

 انعکاسی است زیرا یعنی

 ,

تقارنی است زیرا اگر عضوی از باشد، پس  و . بنابراین چون مجموعه ی تمام جفت مرتب های روی عناصر مجموعه ی A است، پس نیز عضوی از است.

 متعدی است زیرا اگر  و عضو هایی از باشند، آنگاه a و b و c عناصری از A هستند. پس هر جفت مرتب از این سه عضو و بخصوص عضوی از است.

تعریف تحدید یک رابطه : اگر R  یک رابطه در A به توی B باشد، و C زیر مجموعه ای از A باشد، آنگاه تحدید R به C را با نماد نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم :

=

دقت کنید که با تعریف بالا، در واقع R  را بر C محدود می کنیم.

مثال ۱۴-۳ : اگر R یک رابطه روی A باشد، نشان دهید یک رابطه متقارن روی A است.

حل:فرض کنیم A یک مجموعه دلخواه و R یک رابطه روی آن باشد. ابتدا نشان می دهیم که  یک رابطه روی A است.

اگرپس  ، بنابراین = و زیر مجموعه ی است.

اگر  پس جفت مرتبی مانند وجود دارد که a و b عضو هایی از A باشند و . از طرفی برای هر داریم . بنابراین

= 

پس یک رابطه روی A است.

حال اگر  باشد ، نشان می دهیم .

 یعنی R  یا   R^-1 .

اگر R  پس  R^-1 ، لذا  .

واگر  R^-1  پس  R ، لذا . بنابراین در هر دو حالت . پس متقارن است.

  - ۷ -

---

صفحه های قبلی :  « ۶ » ،  « ۵ » ،  « ۴ » ،  « ۳ » ،  « ۲ » ،  « ۱ » 

فصل های قبلی مبانی ریاضیات

مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره 

مبانی ریاضات،فصل دوم،مجموعه ها