ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

ستارگان ریاضی ۸۳

هدف ما ایجاد یک منبع سرشار ریاضی است، ادامه فعالیت های ما در سایت ریاضیات ایران با آدرس www.irmath.com پیگیری می شود منتظرتان هستیم

۱۴. پارادوکس راسل

پارادوکس راسل

پارادوکس راسل بیان می کند که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها چگونه به تناقض منجر می شود.این پارادوکس را به کمک دو لم و یک قضیه بیان می کنند.

لم ۱ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و  مجموعه ی راسلآنگاه   .

برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی  درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم  که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس  

 لم ۲ : فرض کنیم مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود دارد و مجموعه ی راسل آنگاه  .

برهان : به برهان خلف فرض کنیم نقیض حکم یعنی  درست باشد. پس بنابر تعریف مجموعه ی R داریم  که متناقض با فرض است. بنابراین فرض خلف منجر به تناقض می شود. پس  .

قضیه ۱۱ : مجموعه ی تمام مجموعه ها وجود ندارد.

برهان : در لم ۱ و ۲ دیدیم که فرض وجود مجموعه ی تمام مجموعه ها منجر به تناقض و می شود. پس مجموعه ی تمام مجموعه ها نمی تواند وجود داشته باشد.

به مجموعه ی  مجموعه ی راسلمجموعه ی راسل گفته می شود. این مجموعه شامل آن مجموعه ها از مجموعه ی مفروض جهانی است که عضوی از خودشان نباشند.

به این ترتیب به پایان فصل دوم مبانی ریاضیات می رسیم.

۱۳ . قضیه ۹ و ۱۰ تعمیم ها

قضیه ۹ : ( تعمیم قانون دمورگان ) :

اگر  خانواده ی دلخواهی از مجموعه ها باشد، آنگاه

الف :=

ب : =

برهان : برهان قسمت های الف و ب شبیه یکدیگرند. قسمت ب را با عضو گیری ثابت می کنیم. به این ترتیب که نشان می دهیم هر عضوی که در طرف راست تساوی حکم ب باشد، در طرف چپ نیز قرار دارد و برعکس هر عضوی که در طرف چپ تساوی قرار داشته باشد عضوی از طرف راست تساوی است. پس

      تعریف متمم

                  تعریف اشتراک خانواده

                         نقیض سورها

                           تعریف متمم

       تعریف اجتماع خانواده ها

اما چون روابط هم ارزی هستند، پس می توان با شروع از عبارت پایین به عبارت بالایی نیز رسید. بنابراین حکم برقرار است.

قضیه ۱۰ : (تعمیم قانون های پخش پذیری ) :

 اگر B یک مجموعه و  خانواده ای از مجموعه ها باشد، آنگاه

الف :=

ب: =

برهان : الف :

  تعریف اجتماع مجموعه ها

                              تعریف اشتراک خانواده مجموعه ها

                                  تعریف اجتماع مجموعه ها

                تعریف اشتراک خانواده مجموعه ها

. برهان قسمت ب مشابه قسمت الف می باشد.

۱۲. تعریف خانوادهی تهی مجموعه ها و قضیه ۸

 تعریف خانواده ی تهی مجموعه ها :

اگر مجموعه ی اندیس گذار تهی باشد، یعنی =I و خانواده ی G با =I   اندیس گذاری شده باشد، در این صورت به G خانواده ی تهی مجموعه ها گفته می شود. این خانواده را با نماد    نمایش می دهند.

قضیه ۸ : اگر  خانواده ی تهی مجموعه ها باشد، آنگاه

الف :  =

ب :  U=

برهان : الف : به برهان خلف ،‌ فرض کنیم . پس xی در  وجود دارد. یعنی

; 

با توجه به تعریف اجتماع خانواده های اندیس دار، بایستی حداقل یک   موجود باشد و    باشد. یعنی  . اما مجموعه ی تهی بدون عضو است. پس گزاره ی عطفی پایانی یک تناقض است. بنابراین فرض خلف به تناقض می انجامد که نشان می دهد حکم اولیه =  درست است.

 ب:‌ بنابر تعریف اشتراک خانواده ها داریم

 =

یعنی   ، مجموعه ی تمام xهایی در U است که یه ازای آن ها رابطه ی شرطی   یک گزاره ی درست باشد. اما چون تهی عضوی ندارد پس   نادرست است و گزاره ی شرطی به انتفای مقدم ، برای تمام xهای در U برقرار است. پسU=.

  - ۱۲ -


صفحه های قبلی : « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « 9 » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ،   « ۲ » ،  « ۱ »

۱۱. مثال ۳ و تعریف اشتراک خانواده ی مجموعه ها و مثال ۴

مثال ۳ : اگر خانواده ی مثال ۱ را در نظر بگیریم

 =

و همچنین اجتماع خانواده ی مثال ۲ به صورت زیر است:

 =

.

اشتراک خانواده ای از مجموعه ها :

اگر G خانواده ای از مجموعه ها باشد، به اشتراک تمام مجموعه های آن، اصطلاحاً اشتراک خانواده مجموعه ها گفته می شود. به عبارت دیگر، اشتراک خانواده ی G ، مجموعه ی تمام xهایی است که x متعلق به تمام مجموعه های خانواده باشد. یعنی

 ===

اگر  G خانواده ای از مجموعه های اندیس گذاری شده ی Ai باشد که با مجموعه ی I اندیس گذاری شده است، آنگاه اشتراک G عبارتست از :

==

و در صورتی که عبارت بالا به صورت زیر در می آید:

==

مثال ۴ : اشتراک خانواده ی مثال ۱ ، مجموعه ی زیر است :

= 

و اشتراک خانواده ی مثال ۲ مجموعه

 

می باشد.

10 . مثال ۱و۲ و تعریف اجتماع خانواده ی مجموعه ها

مثال ۱ : برای هر عدد طبیعی n فرض کنیم  . در این صورت به ازای هر مقدار طبیعی n  ، یک مجموعه ی متفاوت داریم. مثلاْ وقتی n=1  ،  و وقتی n=2 ، . پس یک خانواده نامتناهی از مجموعه ها تعریف کردیم که با اعداد طبیعی اندیس گذاری شده است. این خانواده را با نماد  نمایش می دهیم.

مثال ۲ : به ازای هر عدد حقیقی مثبت r ، مجموعه ی  Ar  را به صورت  تعریف می کیم. پس . این خانواده به صورت  تعریف می شود.

 

 تعریف اجتماع خانواده ای از مجموعه ها :

اگر G خانواده ای از مجموعه ها باشد، به اجتماع تمام مجموعه های این خانواده، اصطلاحاً اجتماع خانواده ی مجموعه ها گویند. به صورت واضح تر ؛ اجتماع خانواده ی G ، مجموعه ایست شامل تمام xهایی که x عضو یکی از مجموعه های ِ خانواده باشد . یعنی

= =

اگر G خانواده ای از مجموعه های اندیس گذاری شده ی Ai  باشد، که با مجموعه ی I اندیس گذاری شده است، آنگاه اجتماع G عبارتست از :

== =

در صورتی که عبارت بالا به صورت زیر در می آید:

== = 

  - 10 -


صفحه قبلی : « 9 » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ،   « ۲ » ،  « ۱ »