دسته‌بندی مبانی ریاضات،فصل اول،منطق گزاره

۱۹. برهان های درستی ۱. برهان مستقیم

برهان های درستی

۱. برهان مستقیم « Direct Proof »

۲. برهان غیرمستقیم « برهان خلف Reductio ad absurdum »

۳. استقرای ریاضی « Mathematical induction »

۱. برهان مستقیم « Direct Proof »

در این نوع برهان ، گزاره ای به نام نتیجه، از ترکیب عطفی گزاره های مفروضات بدست می آید. مرسوم است که مفروضات و نتیجه را در سمت جپ زیر هم می نویسند و با یک خط نتیجه را از مفروضات جدا می کنند. برای راحتی هر سطر را شماره گذاری کرده و در هر مرحله، نام قانونی را که از آن استفاده شده و شماره سطرهایی را که در قانون استفاده شده اند ، در سمت راست گزاره می نویسند.

قانون هایی که استفاده می شوند بایستی قبلا ً درستی آنها اثبات شده باشد و ابهامی در درستی آن نباشد.

مثال ۳: حکم زیر را با برهان مستقیم ثابت کنید.

عددی بر ۲ بخش پذیر است اگر و تنها اگر رقم یکان آن زوج باشد. عددی بر ۳ بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن بر ۳ بخش پذیر باشد. عددی بر ۶ بخش پذیر است که بر ۲ و ۳ بخش پذیر باشد. عدد بر ۶ بخش پذیر نیست و رقم یکان آن زوج است. بنابراین عدد بر ۳ بخش پذیر نیست .

حل: ابتدا حکم بالا را به صورت گزاره ای می نویسیم . اگر گزاره های

d : عدد بر ۲ بخش پذیر است

z : رقم یکان عدد زوج است

c : : عدد بر ۳ بخش پذیر است

m : مجموع ارقام عدد بر ۳ بخش پذیر است.

s : : عدد بر ۶ بخش پذیر است

را در نظر بگیریم، آنگاه داریم :

عددی بر ۲ بخش پذیر است اگر و تنها اگر رقم یکان آن زوج باشد :
عددی بر ۳ بخش پذیر است اگر و تنها اگر مجموع ارقام آن بر ۳ بخش پذیر باشد :
عددی بر ۶ بخش پذیر است که بر ۲ و ۳ بخش پذیر باشد :
عدد بر ۶ بخش پذیر نیست و رقم یکان آن زوج است :

-----------------------------------------------------------------------

نتیجه عدد بر ۳ بخش پذیر نیست .           c~

۱.

۲.

۳.

۴.    c~

۵.                                                  ۱ و اختصار

۶.                                                 ۱ و اختصار

۷.                                               ۲ و اختصار

۸.                                               ۲ و اختصار

۹.       ۶ و ۸  قیاس ذوالوجهین موجب

۱۰.                                      ۹ و ۳ تعدی

۱۱. s ~                                                 و ۴و اختصار

۱۲. z                                                   و ۴و اختصار

۱۳. ( )                              ۱۰و۱۱ - قیاس دفع

۱۴.                                  ۱۳ و دمورگان

۱۵. m~                                   و ۱۴و۱۲ - رفع مؤلفه

۱۶.                            ۷- عکس نقیض

۱۷. c~                                و۱۵و۱۶ قیاس استثنایی

که به این ترتیب به نتیجه مطلوب رسیدیم.

- ۱۹ -

صفحه های قبل : « ۱۸ » ، « ۱۷ » ، « ۱۶ » ، « ۱۵ » ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر دوشنبه 30 مرداد‌ماه سال 1385 ساعت 05:11 ب.ظ

0 نظر

۱۸. سور وجودی و نقیض سور ها

۲. سور وجودی« Existential quantifier » : در ریاضیات سور وجودی در یک عالم سخن ، جهت نشان دادن ِ صحت گزاره ای برای بعضی از عناصر عالم سخن به کار می رود و در فارسی جای « بعضی از » یا « وجود دارد » را می گیرد. مثلا ْ اگر گزاره ی پیشین را به گزاره ی «  بعضی از خودرو های ساخت ایران ، بنزین سوز هستند » تغییر دهیم، به این معناست که « حداقل یک  خودرو ساخت ایران وجود دارد که بنزین سوز است » . این گونه جمله ها با سور وجودی بیان می شوند. در ریاضیات سور وجودی را با نماد « » نشان می دهند. پس با استفاده از سور وجودی ، گزاره به صورت « » نوشته می شود.

قاعده ی نقیض سورها :

نقیض گزاره ی « تمام ِ خودرو های ساخت ایران ، بنزین سوز هستند » چیست؟ بله نقیض آن به صورت « حداقل یک  خودرو ساخت ایران وجود دارد که بنزین سوز نیست » می باشد.

نقیض گزاره ی « بعضی از خودرو های ساخت ایران ، بنزین سوز هستند » چیست؟ بله نقیض آن به صورت «  تمام خودروهای ساخت ایران، بنزین سوز نیستند » می باشد.

در حالت کلی اگر « » یک گزاره نما درباره ی متغیر x باشد، بنا بر تعریف داریم :

و

قاعده ی نقیض سورها را می توان از تعمیم قانون دمورگان بدست آورد. اگر فرض کنیم عالم سخن تنها شامل عناصر باشد، و « » گزاره ای درباره ی متغیر x باشد، آنگاه « » یعنی درست باشد . اگر از این گزاره طبق قانون دمورگان ، نقیض بگیریم داریم :

که در گزاره ی اخیر ، کافی است یکی از ها درست باشد که این یعنی xی موجود باشد که ~ درست باشد، یا .

به همین نحو می توان نشان داد که

.

  - ۱۸ -

صفحه های قبل : « ۱۷ »  ، « ۱۶ »  ، « ۱۵ »  ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ »  ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر جمعه 27 مرداد‌ماه سال 1385 ساعت 06:14 ب.ظ

4 نظر

۱۷. سورها و قواعد آن

سورها و قواعد آن

تعاریف :

به گزاره ی « تمام اعداد اول ، فرد هستند » دقت کنید. در این گزاره ، بحث در مورد اعداد اول است و از اعداد اول سخن گفته می شود. یا در گزاره ی « اعداد حقیقی، یا مثبت اند، یا منفی، یا صفر » عالم سخن اعداد حقیقی است. پس عالم سخن یا دامنه سخن به صورت زیر تعریف می شود‌ :

« عالم سخن Universe of discourse : مجموعه تمام عناصر مورد بحث در یک موضوع مشخص »

به هریک از اعضای عالم سخن یک اسم خاص گفته می شود .

به عبارت « x عدد حقیقی است » دقت کنید. در این جا x نمادی است که برای نشان دادن عدد حقیقی استفاده شده است. یا در عبارت « اگر x عدد حقیقی باشد،آنگاه x یا فرد است یا زوج » x برای نشان دادن عدد حقیقی بکار می رود. به چنین نمادها یا عباراتی که برای نشان دادن اسم خاص بکار می روند ، اسم نما گفته می شود. اسم نماها در عبارات به طور یکنواخت به اسم خاص تبدیل می شوند، مثلا ً در عبارت « اگر x عدد حقیقی باشد،آنگاه x یا فرد است یا زوج » با قرار دادن عدد حقیقی ۲ (اسم خاص ) به عبارت ِ « اگر۲عدد حقیقی باشد،آنگاه ۲ یا فرد است یا زوج » می رسیم . دقت کنید در یک عبارت، در آن واحد ، نمی توان به جای یک اسم نمای معین ، بیش از یک اسم خاص قرار داد. منظور از تبدیل یکنواخت، همین است.

از آن جا که اسم نما می تواند بین عناصر دامنه ی سخن تغییر کند (هر عضوی از دامنه ی سخن را شامل شود)، به متغیر نیز تعبیر می شود.

گزاره نما : عبارتی شامل یک یا چند متغیر که با جایگزاری یکنواخت متغیرها به اسم خاص ، به گزاره ( درست یا نادرست ) تبدیل می شود.

سور ها « quantifier » : برای خلاصه نویسی و به عبارتی ریاضی نویسی ِ جملات ، از سور ها کمک گرفته می شود. سورها دو نوع اند:

۱. سور عمومی « Universal quantifier » : سور عمومی در یک عالم سخن، جهت نشان دادن صحت گزاره ای برای تمام عناصر عالم سخن بکار می رود. در فارسی جای « برای تمام ِ » یا « برای هر » را می گیرد. مثلا ً در گزاره ی « تمام ِ خودرو های ساخت ایران ، بنزین سوز هستند » دامنه ی سخن « خودروهای ساخت ایران » است. اگر x را « خودرو ساخت ایران » در نظر بگیریم ، گزاره بالا به گزاره ی « برای تمام xها ، x بنزین سوز است » تبدیل می شود.

در ریاضیات سورعمومی را با نماد « » نشان می دهند. اگر گزاره ی « x بنزین سوز است » را با « » نشان دهیم، با استفاده از سورعمومی، گزاره ی بالا به صورت خلاصه ی « » می باشد.

- ۱۷ -

صفحه های قبل : « ۱۶ » ، « ۱۵ » ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر چهارشنبه 25 مرداد‌ماه سال 1385 ساعت 07:32 ب.ظ

0 نظر

۱۶.استدلال قیاسی، مثال۱ و مثال۲

استدلال قیاسی « Deductive reasoning » :

در اثبات قضیه های ریاضی ، نمی توان همواره از جدول ارزشی استفاده نمود. مثلا ْ اگر قضیه ای از ۵ گزاره ی ساده تشکیل شده باشد، جدول ارزشی آن دارای ۳۲ حالت منطقی خواهد بود. رسم یک چنین جدولی هیچ گاه مقرون به صرفه نیست و هیچ کس آن را توصیه نمی کند. اینجاست که استدلال قیاسی به کمک می آید . قواعدی را که در قضیه ها ، نکته ها و تعاریف گذشته با استفاده از جدول ارزشی اثبات نمودیم ، به عنوان « قواعد استنتاج » در نظر می گیریم . البته این قانون ها مستقل از یکدیگر نیستند . پس استدلال قیاسی به صورت زیر تعریف می شود :

استدلال قیاسی ارائه برهانی است با استفاده از تعاریف، اصول موضوعه ، قواعد استنتاج و قضیه هایی که قبلا ْ درستی آن ها اثبات شده است.

مثال ۱ : برهان خلف را به روش قیاسی ثابت کنید.

حل :

تعریف p q

قانون دمورگان

قضیه ۷ . الف

تعریف p q

بنابراین طبق قانون تعدی ، p q  هم ارز است.

مثال ۲ :قانون رفع مؤلفه ی را به روش قیاسی ثابت کنید.

حل:

قانون پخش پذیری

قضیه ۷.د . الف و قانون جابجایی

قانون پخش پذیری

قضیه ۷.د . الف

قضیه ۱. قسمت ۶ قانون اختصار

- ۱۶ -

صفحه های قبل : « ۱۵ » ، « ۱۴ » ، « ۱۳ » ، « ۱۲ » ، « ۱۱ » ، « ۱۰ » ، « ۹ » ، « ۸ » ، « ۷ » ، « ۶ » ، « ۵ » ، « ۴ » ، « ۳ » ، « ۲ » ، « ۱ »

حسن ایزدی مهر دوشنبه 23 مرداد‌ماه سال 1385 ساعت 06:06 ب.ظ

0 نظر

۱۵. قضبه ۶ و قضیه ۷

قضیه ۶ :

الف : قیاس دفع

p~

q~

( q

p )

F

F

T

T

T

T

T

T

F

T

F

T

F

F

F

T

T

F

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

جدول ۲۵

ب: برهان خلف

( q

p~ )

( q~

p )

( q

p )

T

F

T

F

F

F

T

F

F

F

T

T

T

F

T

T

F

T

F

T

F

T

F

F

T

T

F

F

T

T

T

T

T

F

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

جدول ۲۶